Финансовая математика

    Величину  в квадратных скобках называют корректируемым  множителем.   Если он не равен 1 то цену P увеличивают или уменьшают со-

    ответственно.

    При форфейтовых операциях большое  значение имеет анализ  позиций продавца,  покупателя  и банка.  Приведем без вывода формул

    качественную  оценку их позиций.

    Позиция продавца:  остерегается  существенного повышения цены, стремится компенсировать свои потери за счет снижения учетной ставки, повышения ставки  %  за кредит, уменьшения числа векселей.

    Позиция покупателя : найти значение n , минимизирующее w - издержки.

    Позиция банка :  оптимизировать учетную ставку.

    1.6. Налоги и инфляция

    Налоги  на  полученные  проценты.

          При начислении простых  процентов

     .         (49)

    где - реально наращенная сумма, g – ставка налога на %.

    В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные %  возможны следующие варианты: налог начисляется на весь срок сразу или последовательно в конце каждого года. В первом случае:

, (50)

    Во  втором случае налог определяется за каждый истекший год. Сумма налогов  за весь срок не зависит от метода начисления.

,      (51)

    Инфляция.

    Изменение покупательской способности денег за некоторый период измеряется с помощью индекса  

    

- индекс цен.

    Под темпом инфляции понимается относительный  прирост цен за период (H), измеряется в %.

    

    Например,  если темп инфляции равен 130 % , то цены за этот период выросли в 2,3  раза.

          Среднегодовые темп роста цен  и темп инфляции (h) находятся на основе величины

    

.

          Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем периоде, повышаются на  %  относительно уровня, сложившегося в предыдущий период),  то индекс цен за несколько таких периодов равен произведению цепных индексов цен:

    

  ;                                           (52)

          Если  h - постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за период, то за n таких периодов получим:

    

  ,                                           (53)

          Рассмотрим проблему обесценивания денег при их наращении. В общем случае:

    

  ,                                                          (54)

          При наращении по простой ставке, имеем:

    

  ,                  (55)

    Увеличение  наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место тогда, когда .

          При наращении по сложным процентам

    

  ,                  (56)

          Если h/100 < r  происходит малый рост.  Ставка по простым процентам , которая только компенсирует инфляцию определяется по уравнению:

    Для сложных процентов  .

    Ставку, превышающую  ,  называют положительной ставкой процента . 

    Глава 2. Задачи по финансовой математике различной сложности 

    2.1. Задачи на сообразительность  (задание №1)

    (решаются  в уме – подготовительный этап) 

    1. Что выгоднее получить: 1000 руб.  сегодня или 1200 руб. через год,  если банковская процентная ставка а) 10%. б) 12%. в) 20% годовых.

    2. По договору зафиксирован платеж клиенту через 3 года в размере 100000 руб. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно: кредитной организации или клиенту?

    3. У вас имеется возможность  ежемесячно вкладывать в банк  по 30 тыс. руб. Вы собираетесь купить квартиру стоимостью 2 млн. руб. Что выгоднее: взять ипотечный кредит (18% годовых) или накопить (12 % годовых) и купить квартиру?

    4. Что хорошо для владельца ценной  бумаги: увеличение или уменьшение  действующей ставки в период владения этой бумагой, если эта бумага: а)облигация; б) акция.

    5. Найти цену вечной акции с  квартальными дивидендами 200 руб.  при годовой ставке j=8%.

    6. Найти курс купонной «вечной» (без погашения) облигации с  номинальной стоимостью 100 тыс.руб. с выплатой процентов а=3% ежеквартально, если ставка банка j=8% годовых.

    7. Что выгоднее купить: квартиру  за 500 тыс. руб. или арендовать  ее (вечно) с арендной платой 2,5 тыс.руб. ежемесячно и банковской ставкой    12 % годовых.

    8. Бизнесмен арендует виллу за 10000$ в год. Рассматривается вопрос о выкупе им этой виллы. На какую сумму ему следует рассчитывать, если обычная ставка процентов составляет 5 % годовых.

    9. На строительство магазина в  начальный период инвестируется  10000$. Предполагается, что через год инвестор будет получать ежемесячный доход 500 $ в течение неограниченного срока (вечная рента). Стоит ли принимать инвестиционное предложение, если ставка процента j=6%.

    10. По какому критерию проекты  А и В одинаковы, если в  проект А вкладывается 10 млн. руб. и получаем доходы (1 год – 2 млн. руб.; 2 год – 3 млн. руб.; 3 год – 5 млн. руб.; 4 год – 7 млн. руб.).

    В проект В вкладываем 20 млн. руб. и  получаем доходы (1 год – 5 млн. руб.; 2 год – 10 млн. руб.; 3 год – 5 млн. руб.; 4 год – 15 млн. руб.).

    11. Рассчитайте текущую стоимость привилегированной акции номиналом 200 тыс. руб. и величиной дивиденда 7% годовых, если рыночная норма прибыли: а) 3,5%, б) 7%, в) 14%, г) 21%.

    12. В каком случае современная  стоимость и номинал облигации  совпадают?

    13. В каком случае текущая стоимость  и номинал акции совпадают?

    14. Вы приобрели акции предприятия  А и ежегодно получаете по 500 руб. дивидендов на одну акцию. Что Вам выгоднее рост или снижение банковской процентной ставки?

    15. Сертификат номиналом 25 тыс. руб.  выдан на 183 дня с погашением 30 тыс. руб. Определить доходность сертификата.

    16. Вексель с номиналом 20 тыс.  руб. куплен с дисконтом 20% за  три месяца до погашения. Определить стоимость покупки векселя и эффективную ставку данной финансовой операции.

    17. Какова должна быть годовая  процентная ставка, чтобы первоначальная сумма за три года увеличилась на 33%?

    18. Банк выдал кредит 600 тыс. руб.  на срок 61 день под 30% годовых  при условии, что проценты должны  быть начислены и выплачены  из суммы кредита в момент  его выдачи. Определить сумму кредита, полученного на руки.

    19. Банк выдаёт кредит на 6 месяцев  в размере 500 тыс. руб. Ожидаемый  уровень инфляции 5% в месяц. Требуемая  реальная доходность – 10% годовых. Определить ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа.

    20. Какую ставку должен назначить  банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная доходность оказалось бы 6% годовых?

    21. При какой процентной ставке  сложных процентов сумма увеличится  на 21% через 2 года?

    22. Банк гарантирует выплату 10% на вклад за 122 дня. Определить годовую ставку процентов.

    23. Что больше увеличит современную  стоимость вечной ренты с годовым платежом R., увеличение R на 1% или уменьшение j на 1%?

    24. Вексель стоимостью 200 тыс. руб.  куплен с дисконтом 10%. Через 6 месяцев он погашен. Определить эффективную ставку d.

    25. Увеличение курса валюты кому  выгодно, кто имеет рублёвый  вклад или валютный?

    26. В потоке платежей разрешается  переставлять платежи. Как их  надо переставить, чтобы поток  имел самую большую современную величину? Имеет ли это какое – нибудь практическое значение?

    27. Рассмотрим вечную ренту с  годовым платежом R при ставке  процента i. Известно, что ее современная величина, т.е. в момент 0, равна R/ i. Найдите ее величину в произвольный момент t>0. При каком t эта величина максимальна, минимальна?

    28. Значения капитала в моменты  времени 0,1,2,4 есть 100,200,300,400. Найти  доходность и среднюю доходность на отдельных промежутках (в процентах годовых).

    29. Найти цену вечной акции с  полугодовыми дивидендами 400 руб. при годовой ставке j=8%.

    30. Почему банк до одного года  применяет простые проценты, а  более одного года сложные  проценты. 
 

    2.2. Задачи средней  сложности (задание  № 2)

    (рекомендуется  решать в EXCEL MS OFFICE) 

    1. Первоначально вложенная сумма 210 тыс. руб. Определить наращенную сумму через год, через 2 года, и далее с шагом 1 год до 20 лет при использовании простых и сложных процентов 12 %  годовых (проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально, непрерывно).

    2. Определить современную величину 130 тыс. руб., которую мы получим через год, через 2 года, и далее с шагом 1 год до 15 лет при использовании простых и сложных процентов 12 %  годовых (проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально, непрерывно).

    3. За какой срок первоначальный капитал в 50 млн. рублей увеличится до 200 млн. руб., если на него начисляются: а) простые, б) сложные проценты по ставке 8% годовых (проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, поквартально, непрерывно).

    4. Определить номинальную ставку сложных процентов, которая обеспечивала бы доходность в 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 %, через 8 лет (проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально).

    5. Первоначальный капитал в размере  20 млн. руб. выдается на пять  лет, сложные проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально, по номинальной ставке 12% годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый уровень инфляции 10 % в год.

    6. Определить реальную доходность финансовой операции, если при уровне инфляции 0,5%  в месяц  выдается кредит на три года по номинальной ставке сложных  процентов 18%  годовых. Проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально.

    7. Найти современную величину потока платежей: первый год - 3 тыс. руб., второй год - 1 тыс. руб., третий год - 2 тыс. руб., далее в течении семи лет - 3 тыс. руб. Ставка дисконтирования - 6% годовых. Проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально.

    8. Заем в размере 330 тыс. руб. выдан сложные проценты  16% годовых (проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально). Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 15 тыс. руб.

    9. Долг в размере 10 тыс. руб. требуется погасить за 5 лет. Размеры срочных уплат в первые 4 года:  2 тыс. руб., 2 тыс. руб., 4 тыс. руб., 1,5 тыс. руб. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка 15% годовых. Проценты начисляются один раз в год, по полугодиям, ежеквартально.

    10. Депозитный сертификат номиналом  200 тыс. руб. выдан 14 мая с  погашением 8 декабря под 20% годовых.  Определить сумму дохода при  начислении точных и обыкновенных процентов и сумму погашения долгового обязательства.

    11. Платежное обязательство выдано  на три месяца под 25% годовых с погашением а) 10 тыс. руб., б) 20 тыс. руб., в) 30 тыс. руб.  Определить доход владельца данного платежного обязательства.

    12. Купонная 5-летняя облигация А  с номиналом 3 тыс. руб. продается  по курсу 0,925. Предусмотрена выплата купона 1 раз в год в размере 360 руб. Купонная 5-летняя облигация Б с купоном 13% продается по номиналу. Какая облигация предпочтительнее?

    13. Фирма приобрела 20 привилегированных  акций номиналом по 200 тыс. рублей  с фиксированной процентной ставкой  20% в год. Стоимость этих акций ежегодно возрастает на 5% относительно номинальной. Полученные проценты вновь инвестируются под 10% годовых. Определить ожидаемый доход и доходность продажи акций через два года