Финансовая математика

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПРАКТИКУМ 

ПО  ФИНАНСОВОЙ  МАТЕМАТИКЕ 

(автор   Галиаскаров Ф.М.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2009 г. 
 
 
 

    Глава 1. Основные формулы, применяемые в  финансовых расчетах 

    1.1. Простые и сложные  проценты

    Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

          Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения  или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют  простые, при измененной -сложные процентные ставки.

    Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

    Наращение  по простой процентной ставке:

    

,                            (1)

    где S – наращенная сумма; P – первоначальная сумма, n – срок, r – ставка наращения (десятичная дробь).

    Наращение по сложной процентной ставке:

    

,         (2)

    где j  - сложная процентная ставка; n - число лет наращения, m – число начислений процентов в году.

          Номинальная ставка – это годовая ставка сложных процентов при одноразовом начислении процентов в году по ставке j.

          Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов в году по ставке .

    Наращение по непрерывной процентной ставке:

    При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу  роста ( ).  Сила  роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени.  Она может быть постоянной или изменяться во времени.

    

,                   (3)

    Дисконтирование  и учет по простым  процентным ставкам.

    Термин  дисконтирование  употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

    В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P.  Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта.  Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом, а удержанные проценты - дисконтом

    В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский  (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

          Математическое дисконтирование  представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

    

,                                (4)

    Банк  или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

                                ,   (5)

    Для ставки наращения  прямой задачей  является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для  учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении .

    Ставка                     Прямая задача              Обратная задача

         r                                    (6)

         d                                .

          Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 %  уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

    Определение срока ссуды и  величины простой  процентной ставки

    Продолжительность срока ссуды в годах получим, решив уравнения (1) и (5) относительно n:

    

,     (7)                     ,                (8)

    По  этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:

    

,        (9)                      ,              (10)

    Определение срока платежа  и сложных процентных ставок.

    Продолжительность срока платежа в годах получим, решив уравнения (2) относительно n:

    

,               (11)

    Поэтому же уравнению можно определить и  сложную процентную ставку:

    

,              (12)

    Продолжительность срока платежа в годах при  наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста получим, решив уравнения (3) относительно n:

    

,                             (13)

    Поэтому же уравнению можно определить и  силе роста  :

    

,                              (14) 

    1.2. Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты

    Погашение задолженности в рассрочку, периодическое  поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. – называют потоки платежей.

    Потоки  платежей могут быть регулярными  и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

    Поток платежей, все члены которого положительные  величины, а временные интервалы между платежами одинаковы,  называют финансовой рентой или просто рентой.

    Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка. 

    По  количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на  годовые, P - срочные (P – количество выплат в году),  непрерывные (много раз в году).

    Обобщенные параметры потоков платежей

    Анализ  потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик:  наращенной суммы или современной стоимости.

    Наращенная  сумма –сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

    Современная стоимость потока платежей – сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

    Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий  срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке j, то:

    

,                        (15)

    Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом – как сумму  дисконтированных  платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

    

,                                  (16)

    где  - дисконтный множитель по ставке j.

    Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

    

                                  (17)

    Очень важным является различие рент по моменту  выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие  ренты называют обыкновенными или  постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов,  то  их  называют пренумерандо.

    Годовая рента

    В течении n лет в банк в конце  каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член ренты начисляются  (n-1) раз, на второй (n-2)  и т.д.

     .

    Если  переписать этот ряд в обратном порядке, то получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ j ) и первым членом R.

    

,                     (18)

    При начислении процентов m раз в году то:

    

;      (19)

    Если  платежи осуществляются в начале периодов то

    

;          (20)

    При начислении процентов m раз в году то:

    

; (21)

    Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

    

,                             (22)

    Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом  приведения ренты и обозначается :

    При        ,     (23)

    В этом случае:

,                             (24)

    При дисконтировании m раз в году:

    

,                  (25)

    Определение срока ренты

             P=1

            m=1

               

      p=1

      m>1    

        P>1

       m=1

    

    m=p

    

    m¹p          

    При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

    1. Расчетные значения срока будут  дробные. Для годовой ренты  в качестве n удобнее принять меньшее ближайшее число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов.

    2. Если округление производится  до меньшего целого числа, то  наращенная сумма или современная  стоимость ренты оказывается  меньше заданной. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например,  если речь идет о погашении задолженности путем выплаты  постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена  соответствующими платежом в начале или конце срока или с повышением  суммы члена ренты.

    1.3. Оценка эффективности  инвестиций

    по  системе международных показателей

          Мировая экономическая практика давно выработала методы оценки инвестиционных предпринимательских проектов, которые учитывают все возможные условия их реализации.