Финансовая математика

          Однако не требуется  применять все оценочные показатели во всех проектах, поскольку они очень сильно отличаются друг от друга. Для любого из них могут быть годны лишь те показатели, которые будут учитывать его индивидуальные особенности.

    Показатель  внутренней нормы  доходности.

    Внутренняя  норма доходности характеризует  величину чистой прибыли (чистого валового дохода), приходящуюся на единицу инвестиционных вложений, получаемой инвестором в каждом временном интервале жизненного цикла проекта. Методически расчёт внутренней нормы доходности осуществляется по следующим формулам:

    

, (26)

    где D_i – доход предприятия в i-м временном интервале;

    IC_i – инвестиционные вложения в i-м временном интервале, которые принимаются по проекту с учётом инфляции национальной валюты;

    IRR – показатель внутренней нормы доходности за временной интервал в долях от единицы;

          i – текущий временной интервал, принимающий значение от 0 до T;

          T – длительность жизненного цикла проекта, исчисляемая в принятых временных интервалах.

          Показатель внутренней нормы доходности применяется очень  широко на многих предприятиях и многими инвесторами. Но особенно важное значение он имеет для крупных производств, для масштабных проектов, при реализации которых оценивается их стратегичность и растянутость жизненного цикла, в течение которого проект будет приносить большой доход.

    Показатель  чистого приведённого дохода.

    Величина  этого показателя определяется по формуле:

    

, (27)

    где NPV – чистый приведённый доход за жизненный цикл проекта;

    q_Н – норматив дисконтирования затрат и результатов проекта, принимаемый на момент начала его жизненного цикла;

    

,                           (28)

    q₂ – гарантированная норма получения дивидендов на вложенный капитал в высоконадёжном банке (в долях от единицы);

    q_c – страховая норма, учитывающая риск вложения (в долях от единицы);

    q₀ – минимальная граница доходности проекта (в долях от единицы), которая может устроить предпринимателя.

    Рассматриваемый показатель имеет достаточно широкое  распространение на предприятиях среднего бизнеса, в ограниченных случаях – крупного и малого бизнеса.

    Показатель  срока окупаемости  инвестиций.

    Одним из важнейших показателей эффективности  инвестиций для предприятий малого бизнеса является срок окупаемости вложений, ибо предпринимателю, не обладающему большим денежным капиталом, очень важно как можно быстрее вернуть внесённые в дело средства.

          Показатель срока  окупаемости определяется по формуле:

    

, (29) 

    1.4. Облигации

    Облигацией называется ценная бумага, удостоверяющая внесение ее владельцем денежных средств и подтверждающая обязательство возместить ему номинальную стоимость ценной бумаги в предусмотренный в ней срок с уплатой фиксированного процента, если иное не предусмотрено условиями выкупа. Облигации относятся к категории ценных бумаг с фиксированным доходом, поскольку обязательства по обслуживанию долга носят фиксированный характер, т.е. инвестиционное учреждение обязуется периодически выплачивать фиксированный процент и фиксированную выкупную сумму по истечении установленного срока. Инвестирование в облигации надежно защищено от риска, благодаря тому факту, что облигации представляют собой долг. Если компания, выпустившая облигации, потерпит крах, то выплаты держателям облигаций будут производиться в первую очередь.

    Облигации с нулевым купоном (в частности, российские ГКО) - это облигации, по которым проценты не выплачиваются, но при выпуске им назначается цена на условиях дисконтирования по сравнению с номинальной стоимостью.

    Облигации характеризуются следующими параметрами:

    NOM - номинальной стоимостью;

    T - сроком до погашения;

    g - купонной процентной ставкой;

    m - числом выплат процентов в году;

    P_t - текущей рыночной ценой;

    V_t - действительной стоимостью;

    Y_t - текущей доходностью;

    j_t^ef - доходностью к погашению.

    Под курсом облигации понимается величина .

    Стоимость облигации

    Одной из основных характеристик облигации  является ее действительная (приведенная) стоимость, ориентируясь на которую покупатели и продавцы устанавливают свои цены на покупку и продажу облигации на рынке. Ожидаемый денежный поток платежей по облигациям состоит из выплат по процентам плюс выплата номинальной стоимости облигации при погашении. Действительная стоимость облигации определяется как современная величина этого потока платежей.

    Для облигации с выплатой процентов m раз в году и целой величиной действительная стоимость рассчитывается по формуле:

     , (30)

    где j_t - банковская процентная ставка в момент времени t.

    Движение  банковской процентной ставки и курсов облигаций происходит в противоположных направлениях. По сути дела, колебания банковской процентной ставки является единственной наиболее важной силой на рынке облигаций.

    Как видно из формулы, при росте банковской процентной ставки действительная стоимость облигации падает, а при убывании - возрастает. При большой процентной ставке потоки денежных средств в отдаленном будущем являются менее важными, поскольку инвестор получает большую часть денег в ближайшем будущем.

    Действительная  стоимость облигации с выплатой купонных процентов два раза в год может рассчитываться по следующей более точной формуле:

    

,       (31)

    1.5. Доходность купли  - продажи финансовых  инструментов

    Краткосрочные финансовые инструменты денежно  – кредитного рынка – векселя, тратты, различные депозитные сертификаты и т.д. – могут быть проданы до наступления срока их оплаты. Владелец при этом получает некоторый доход, а в неблагоприятных условиях несет убытки.

    Покупка и продажа векселя.

    Пусть номинал векселя S руб.  Он был куплен (учтен) по учетной ставке  d₁  за  ¶₁ дней до наступления срока.

    Цена  в момент покупки составила:

    

,                                (32)

    где k - временная база учета

    За ¶₂ дней до погашения вексель был продан с  дисконтированием по ставке d₂

    

,                                (33)

    Для простой ставки r получим следующее балансовое уравнение:

    

,                               (34)

    Доходность  купли - продажи векселя в виде ставки простых процентов:

    

,                                    (35)

    Выразив P₁ и P₂ через определяющие эти величины параметры, находим:

    

,                   (36)

    Аналогично  поступают и при использовании в качестве меры эффективности годовой сложной ставки.

    

,                           (37)

    

   ,                        (38)

    

  ,            (39)

    Покупка и продажа депозитного сертификата.

    Депозитные  сертификаты выпускаются банками, продаются эмитентом в момент выпуска по номиналу и предусматривают в качестве дохода выплату процентов, начисляемых по простым или сложным ставкам.

    Обратимся к наиболее распространенному виду сертификата -  с разовой выплатой процентов и рассмотрим три возможных варианта операции купли - продажи:

    а) покупается по номиналу, продается  за ¶₂ дней до погашения;

    б) покупается после выпуска и погашается в конце срока;

    в) покупается и продается в пределах объявленного срока.

    Для варианта а) получим знакомое равенство (34), однако символы здесь имеют  другое содержание:

    P₁ – номинал; P₂ – цена продажи; ¶₁, ¶₂ – сроки погашения.

    Доходность  определяется по уравнению (35), если расчет исходит из цен сертификата.

    Если  же в качестве исходных параметров берутся  процентные ставки r₁ и r₂ (r₁ – объявленная ставка сертификата, r₂ – рынка в момент продажи), тo:

    

   ,               (40)

          для  сложных процентов:

    

,             (41)

    Вариант  в  Здесь справедливо равенство:

    

,              (42)

    где: P₁ – номинал; P₂ – цена приобретения; r – объявленная % ставка

    

   ,                          (43)

    Для сложных процентов:

    

  ,               (44)

    Форфейтовые операции.

    К форфетированию прибегают при продаже  какого-либо  крупного

    объекта (судна, предприятия, крупной партии товара). Покупатель приобретает товар в условиях, когда у него нет соответствующих денежных ресурсов. Продавец не может отложить получение денег на будущее и продать товар в кредит. В этом случае покупатель выписывает комплект векселей на сумму, равную стоимости товара плюс проценты за кредит, который как бы  предоставляется покупателю продавцом. Сроки  векселей равномерно распределены во времени (обычно - полугодия). Продавец сразу же после получения портфеля векселей учитывает его в банке без права оборота на себя, получая деньги в самом начале сделки. Банк, форфейтируя сделку, берет весь риск на себя. В качестве 4- го агента сделки иногда выступает гарант-банк покупателя.

    Сумма, проставленная на векселе  , состоит из двух элементов: суммы,  погашающий основной долг (цену товара), и процентов за кредит. Последние определяются двумя способами:

    а) %  на остаток задолженности; в  этом случае срок, за который они  начисляются,  начинается с момента  погашения предыдущего векселя;

    б) % на сумму долга,  включенную в  вексель; в этом случае срок начисляется  от начала сделки и до момента погашения векселя.

    Сумма портфеля векселей по варианту а) составит:

    

  ,                      (45)

    где Р - цена товара; n - число векселей ; r - ставка простых %  за период.

    Сумма портфеля векселей по ваарианту  б)  составит:

    

  ,                               (46)

    При учете портфеля векселей в банке  продавец получит некоторую сумму A, которая по варианту а вычисляется по уравнению:

    

, (47)

    где     d - простая учетная ставка

    По  варианту  б):

    

, (48)