Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция8

Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

2. Вращение вокруг прямых уровня.

Сущность способов вращения заключается в том, что заданную геометрическую фигуру путём вращения вокруг некоторой оси перемещают в пространстве до тех пор, пока она  не займёт частное положение относительно плоскостей проекций.

Эффективным приёмом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских  фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путём  такого вращения можно плоскость, которой  принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекции.

(Сущность способа в  том, что путём вращения вокруг  линий уровня плоскость, в которой  расположена фигура, переводится  в положение, параллельное той  плоскости проекций, которой параллельна  прямая частного положения (линия  уровня)).

При этом плоская фигура будет  без искажения проецироваться на эту плоскость проекций.

При вращении вокруг горизонтали  плоская фигура переводится в  положение, параллельное плоскости H, при  вращении вокруг фронтали в положение, параллельное плоскости V.

Рис.1

Точка A при вращательном движении перемещается по дуге (окружности), расположенной в плоскости, которая  перпендикулярна оси вращения. Центр  окружности будет находиться на оси  вращения, а величина радиуса равна  расстоянию от точки до оси вращения.

Т.к. в нашем случае ось  вращения - горизонталь, то, следовательно, траектория точки А будет находиться в горизонтально-проецирующей плоскости.

S H; S h; S_H h₁; [OA^I] H 
Точка O - центр вращения O=S h 
AA^I [A₁A^I₁] h₁ 
На плоскость V окружность проецируется в эллипс (это построение мы не делаем).

Для того, чтобы на комплексном чертеже переместить точку A путём вращения вокруг линии уровня, нужно знать:

• центр вращения,
• истинную величину радиуса вращения.

Центр вращения O, как уже  отмечено, находится в точке пересечения  h с плоскостью S. Чтобы определить величину радиуса вращения |OA|, необходимо построить в плоскости Н прямоугольный треугольник  О₁А₁A₀.  О₁А₀A₁    ОA1 Для этого за катет принимаем горизонтальную проекцию [O₁A₁] отрезка OA; второй катет равен разности аппликат концов отрезка ОА |z_A-z_A^I|=|A1|. Гипотенуза  О₁А₁A₀ это O₁A₀=R.

Рис.2

Новое, после поворота, положение  точки A^I₁ находится в месте пересечения дуги окружности, проведённой из горизонтальной проекции центра вращения O₁, радиусом, равным [O₁A₀] с горизонтальным следом S_H плоскости S.

Пример: Дана плоскость P ( ABC) - общего положения. Нужно вращением вокруг фронтали определить истинную величину треугольника ( ABC).

Рис.3

Ход решения:

• Строим фронталь в плоскости P;
• Из точки B₂ проводим перпендикуляр к f₂;
• Из точки C₂ проводим перпендикуляр к f₂;
• R=O₂B^I₀

3. Совмещение - вращение вокруг  следа плоскости.

Совмещение является частным  случаем вращения плоскости вокруг горизонтали или фронтали. При совмещении за ось вращения принимается не произвольная горизонталь или фронталь плоскости, а её горизонтальный или фронтальный след (нулевые горизонталь или фронталь). В этом случае в результате поворота плоскости она совпадает (совмещается) с плоскостью проекций H, если вращение осуществляется вокруг горизонтального следа плоскости, либо с V при вращении её вокруг фронтального следа.

Метод совмещения применяется  тогда, когда требуется определить истинный вид геометрических фигур  или построить в плоскости  общего положения фигуры заданной формы  и размеров.

Задача. Совместим плоскость Q общего положения, заданную следами, вращением вокруг следа Q_H с плоскостью H.

Рис.4

При этом преобразовании след Q_H как ось вращения остаётся на месте. Поэтому для нахождения совмещённого положения плоскости достаточно найти совмещённое положение только одной принадлежащей ей точки (не лежащей на следе Q_H).

В качестве такой точки  целесообразно (для упрощения геометрических построений) взять точку, принадлежащую  фронтальному следу Q_V.

Точка A при вращении вокруг оси Q_H будет перемещаться по дуге окружности, принадлежащей плоскости S, перпендикулярной к оси вращения 
(S H) (S_H Q_H)

Следует отметить, что совмещённое  положение точки A и следа Q_V-Q_V0 (да и любой точки, принадлежащей плоскости Q) можно построить, не пользуясь центром и радиусом вращения. Для этого достаточно из точки Q_xописать дугу радиусом, равным расстоянию |Q_xA₂| до её пересечения с прямой (горизонтальным следом S_Hплоскости S, в которой будет перемещаться точка A), проведённой через A₁ перпендикулярно к Q_H. Через полученную точку пройдёт фронтальный след плоскости Q_V0 при совмещении его с плоскостью H.

Это следует из того, что  любая геометрическая фигура, лежащая  в плоскости Q, при её совмещении с плоскостью H проецируется в конгруэнтную фигуру. 
(Ф Q) (Ф Ф₀)   Ф Ф₀; [A₂Q_x] [A₀Q_x]

Рис.5

Пример: Дана плоскость Q общего положения и фронтальная проекция  ABC, лежащего в этой плоскости. Вращением вокруг горизонтального следа Q_H определить истинную величину  ABC.

Рис.6