Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция10

VI ПОВЕРХНОСТИ

Пересечение поверхностей плоскостью. Развёртка поверхностей.

При пересечении поверхности  плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением. Сечение поверхности плоскостью - плоская кривая, принадлежащая секущей плоскости.

При сечении многогранника  плоскостью это ломаная линия, при  сечении кривой поверхности - кривая линия.

Развёрткой поверхности тела называется фигура, полученная путём совмещения боковой поверхности с плоскостью.

1. Пересечение многогранников  плоскостью.

Многогранником называется пространственная фигура, ограниченная замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников.

Стороны многоугольников  образуют рёбра, а плоскости многоугольников - грани многогранника.

Поэтому задачу по определению  линии пересечения поверхности  многогранника плоскостью можно  свести к многократному решению  задачи по нахождению:

а) линии пересечения двух плоскостей (граней многогранника и  секущей плоскости)  
или 
б) точки встречи прямой (рёбер многогранника) с секущей плоскостью.

Пример. Дано: Трёхгранная пирамида SABC, стоящая на плоскости H, рассечена плоскостью общего положения P.

Нужно:

• Построить сечение пирамиды плоскостью.
• Определить видимость сечения и пирамиды на H и V.
• Построить истинную величину сечения.
• Построить развёртку нижней отсечённой части пирамиды.

Определим линию пересечения  грани SAB с секущей плоскостью P и  точку встречи ребра SC пирамиды SABC с секущей плоскостью P. Для этого  введём плоскость-посредник Q. [SC] Q

Натуральную величину сечения  определим методом совмещения, для  чего плоскость P поворачиваем вокруг следа P_H до совмещения с плоскостью H.

Проекциями сечения многогранников плоскостью в общем случае являются плоские многоугольники, вершины  которых принадлежат рёбрам, а  стороны - граням многогранника.

2. Развёртка поверхности  многогранника.

Существует 3 способа построения развёртки многогранных поверхностей:

• способ нормального сечения;
• способ раскатки;
• способ треугольников (триангуляции).

Первые два способа  применяются для построения развёртки  призматических гранных поверхностей, третий - для пирамидальных гранных поверхностей.

Воспользуемся третьим способом. Для этого нужно знать:

• Натуральную величину рёбер, которую определяем по методу прямоугольного треугольника.
• Натуральную величину сторон основания (они в данном случае равны своим горизонтальным проекциям).