Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция7

Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

IV МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ  ПРОЕКЦИЙ

Пример: Даны фронтально-проецирующая плоскость S и точка A. Нужно найти  расстояние от точки A до плоскости S.

Рис.1

Решение задачи получается более  простым, если геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Перевод геометрической фигуры из общего положения в частное  может быть осуществлён двумя  путями:

• Перемещением плоскостей проекций в положение, относительно которых плоские фигуры занимали бы частное положение (были бы параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций).
• Перемещением плоской фигуры в пространстве в частное положение относительно плоскостей проекций, причём положение плоскостей проекций при этом остаётся неизменным.

Первый путь лежит в  основе метода замены плоскостей проекций, а второй - в основе следующих  методов:

• Вращение вокруг линии уровня.
• Вращение вокруг проецирующих прямых.

Методы преобразования проекций позволяют значительно упростить  решение метрических и некоторых  позиционных задач.

1. Метод замены плоскостей  проекций.

Этот метод заключается  в том, что заданные в пространстве геометрические фигуры не изменяют своего положения, а в системе плоскостей проекций V и H последовательно заменяют одну, две и более плоскостей проекций. При этом вновь введёная плоскость  проекций должна быть перпендикулярна  остающейся плоскости проекций, а  относительно плоских геометрических фигур она должна быть поставлена в такое положение, чтобы эти  фигуры были параллельны или перпендикулярны  по отношению к ней.

Переход от некоторой системы  плоскостей проекций к новой может  быть осуществлён по одной из схем:

1.   
2. 

Схемы показывают, что одновременно меняется только одна плоскость проекций V (или H), другая плоскость H (или V) остаётся неизменной.

1.1 Замена фронтальной  плоскости проекций.

Пусть в системе плоскостей   дана точка А и указаны её проекции А₁ А₂.

Проследим как изменится  положение проекций точки А, если плоскость V заменить новой плоскостью V₁ (V₁ H).

Рис.2

Рис.3

Плоскость V₁ пересекается с плоскостью Н по прямой x₁, которая определяет новую ось проекций. Положение горизонтальной проекции А₁ точки А остаётся без изменений, так как точка А и плоскость Н не меняли своего положения в пространстве.

Для нахождения нофой фронтальной  проекции точки А - А₄ достаточно спроецировать ортогонально точку А на плоскость V₁. Расстояние новой фронтальной проекции А₄ точки А от новой оси x₁ равно расстоянию от старой фронтальной проекции А₂ точки А до старой оси х.

|А₄х₁|=|А₂х|=|АА₁|.

При построении комплексного чертежа новая плоскость проекций V₁ вращением вокруг новой оси х₁ совмещается с остающейся плоскостью Н. Направление вращения не влияет на результат решения задачи. Вращение следует делать так, чтобы новые проекции не накладывались на старые.

1.2 Замена горизонтальной  плоскости проекций.

Замена горизонтальной плоскости  проекций Н новой плоскостью Н₁ и построение новых проекций точки А в системе  осуществляется аналогично рассмотренному случаю. Теперь без изменения остаётся фронтальная проекция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А₄ точки А необходимо из старой фронтальной проекции точки опустить перпендикуляр (провести линию связи) на новую ось х₁ и отложить на нём от точки пересечения с осью х₁ отрезок равный расстоянию старой горизонтальной проекции от старой оси х.

|А₄х₁|=|А₁х|=|АА₂|.

Рис.4

1.3 Основные задачи замены  плоскостей проекций.

Решение всех задач методом  замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач:

Первая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

Вторая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая уровня стала проецирующей прямой.

Решим обе задачи совместно:

Решение первой задачи: Пусть  задана прямая общего положения отрезком [АВ]. Заменим плоскость V на V₁ 
(V₁ H) (V₁ [AB])   x₁ [A₁B₁] 
[A₁A₄] x₁ [B₁B₄] x₁ 
B₂B_x=B_x1B₄ A₂A_x=A_x1A₄ 
|А₄B₄|=|АB|   - угол наклона АВ к плоскости Н.

Решение второй задачи: Заменим  плоскость Н на Н₁ 
(Н₁ V₁) (H₁ [AB])   x₂ [A₄B₄] 
A_x2A₅=B_x2B₅=A₁A_x1=B₁B_x1

Рис.5

Таким преобразованием можно  решать задачи об определении истинной величины отрезка и углов наклона  его к плоскостям проекций.

Совместное рассмотрение первой и второй задач позволяет  решать задачи об определении:

• расстояния от точки до прямой
• расстояния между двумя параллельными прямыми
• расстояния между скрещивающимися прямыми

Третья задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью.

Четвёртая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.

Решим обе задачи совместно:

Решение третьей задачи: Пусть  задана плоскость общего положения  Р( ABC) 
Заменим V на V₁ (V₁ H) (V₁ P) x₁ [A₁1₁] 
 - угол наклона плоскости Р к плоскости Н.

Решение четвёртой задачи: Заменим Н на Н₁ (Н₁ V₁) (Н₁ P) x₂ [C₄B₄]

Рис.6

С помощью такого преобразования можно решать задачи на определение: углов наклона плоскости к  плоскости проекций, расстояния от точки до плоскости, расстояния между  параллельными плоскостями.

Совместное решение задач 3 и 4 позволяет решать задачи на определение: натуральных величин плоских  фигур, углов между пересекающимися  прямыми, расстояния между параллельными  прямыми, расстояния от точки до прямой.