Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция11

Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

3. Пересечение поверхности  вращения плоскостью.

При пересечении поверхности  вращения плоскостью могут получиться следующие кривые:

а). Цилиндр вращения:

• эллипс - когда секущая плоскость   и   оси вращения.
• окружность - когда секущая плоскость   оси вращения.
• две   прямые - когда секущая плоскость   оси вращения.
• прямая линия - когда секущая плоскость касательна к поверхности цилиндра.

б). Конус вращения:

Поверхность прямого кругового  конуса является носителем кривых 2-го порядка: окружности, эллипса, параболы, гиперболы, которые поэтому также  называются коническими сечениями.

Рис.1

 - угол наклона образующей конуса  к его оси. 
 - угол наклона между секущей плоскостью и той же осью.

• эллипс - когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса (т.е.   и  ).  >
• окружность - когда секущая плоскость   оси вращения.  > ^I,  =90
• парабола - когда секущая плоскость   одной образующей конуса.  =
• гипербола - когда секущая плоскость   оси вращения конуса или каким-либо двум образующим конуса.  <
• две пересекающиеся прямые, прямая или точка, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса.

Чтобы построить линию  пересечения поверхности вращения плоскостью, необходимо:

• Ввести ряд вспомогательных плоскостей.
• Построить линии пересечения вспомогательной плоскости с заданными плоскостью и поверхностью.
• Определить точки взаимного пересечения построенных линий, которые принадлежат искомой линии пересечения.

Выбор вспомогательных плоскостей производится из следующих соображений:

• Вспомогательные плоскости при пересечении с заданной поверхностью должны давать линии пересечения простого вида (прямая, окружность).
• В результате применения вспомогательных плоскостей должны получаться точки, принадлежащие кривой сечения, наиболее характерные для этой кривой.

К характерным точкам кривой сечения относятся:

• высшая и низшая точки сечения;
• точки, разделяющие видимую и невидимую части сечения;
• точки, являющиеся концами большой и малой осей эллипса (в некоторых случаях эти точки могут совпадать).

4. Развёртка поверхностей  вращения.

Дано: Прямой круговой конус, стоящий на плоскости проекций H, рассечён плоскостью общего положения P.

Нужно:

• Построить линию сечения конуса плоскостью.
• Определить видимость сечения и конуса на H и V.
• Построить истинную величину сечения.
• Построить развёртку нижней отсечённой части конуса.

Задача пересечения конуса плоскостью решается следующим образом:

• Для удобства делим горизонтальную проекцию основания (окружность) на 8 частей.
• Большая ось эллипса находится на прямой проходящей через вершину конуса и перпендикулярной горизонтальному следу секущей плоскости Р.
• Разделив большую ось пополам можно найти центр эллипса сечения - O.
• Если через точку O провести горизонтальную плоскость, то она пересекает заданный конус по окружности, а заданную плоскость P по горизонтали. В результате этого можно получить точки ограничивающие малую ось эллипса сечения.
• Проводим фронтальную плоскость T через вершину конуса. Вспомогательная плоскость T пересекает конус по очерковым образующим S1 и S5, а заданную секущую плоскость по фронтали. В результате этого получаем точки a и d, принадлежащие кривой сечения и определяющие границу видимости этой кривой на фронтальной плоскости проекций.
• Для построения промежуточных точек b, c, e, f находим точки пересечения соответсвующих образующих с секущей плоскостью.

Натуральную величину сечения  определяем методом совмещения плоскости P с плоскостью H, для чего плоскость P вращаем вокруг её горизонтального  следа.

Для построения развёртки:

• Поверхность конуса мысленно режем по образующей S1.
• Определяем угол кругового сектора  =180*D/L
• Зная угол кругового сектора, выполняем полную развёртку кругового сектора.
• Длину окружности основания конуса делим на равные части (чем больше, тем лучше).
• Дугу кругового сектора делим на такое же количество частей. На развёртке проводим образующие.
• На развёртке наносим точки сечения, которые находятся на образующих S1 - S8.
• Полученные точки на развёртке соединяем плавной кривой линией.
• К развёртке боковой поверхности конуса пристраиваем натуральные величины основания и сечения.

Рис.2