Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция5

Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

Взаимное положение  прямой и плоскости.

Прямая и плоскость  в пространстве могут иметь одну собственную или несобственную  общую точку или множество  общих точек, следовательно, прямая может пересекаться с плоскостью, быть ей параллельна либо совпадать  с плоскостью.

6. Параллельность прямой  и плоскости.

Из элементарной геометрии  известно, что прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно провести прямую, параллельную заданной прямой.

(m n) (n )  m

Через точку, не принадлежащую  плоскости, можно провести бесконечное  количество прямых, параллельных плоскости. Для получения единственного решения нужно наложить дополнительное условие, например, построить прямую, параллельную сразу двум плоскостям.

Пример 1: Через точку А провести прямую l, параллельную заданной плоскости  .

Рис.1

l2 N2M2  l1  M1N1

Пример 2: Через точку А провести прямую, параллельную заданной плоскости и плоскости проекций V.

Рис.2

l2 f2  l1 f1

7. Пересечение прямой с плоскостью.

Определение точки встречи  прямой с плоскостью относится к  элементарным задачам начертательной геометрии, но значение этой задачи большое, так как эта задача входит составной  частью в решение многих других позиционных  и метрических задач.

Метрические задачи - задачи, в которых определяют размеры  геометрических элементов и расстояния между ними.

Определение видимости  на эпюрах.

При пересечении прямой с  плоскостью для улучшения наглядности  чертежа для показа видимых линий  применяют сплошные основные линии, для невидимых линий - штриховые. При показе видимости линий на эпюре предполагается, что:

• Плоскости и поверхности непрозрачные.
• Наблюдатель всегда находится в первой четверти или первой октанте.
• Луч зрения от наблюдателя перпендикулярен к той или иной плоскости проекций (по отношению к которой определяется видимость).

Метод конкурирующих  точек.

Точки, относящиеся к различным  геометрическим объектам и лежащие  на одном проецирующем луче, называются конкурирующими в видимости по отношению  к той плоскости проекций, к  которой проецирующий луч перпендикулярен.

Рис.3

Если точка А и точка В лежат на одном проецирующем луче l H, то есть A B l H, то точки А и В называются конкурирующими в видимости по отношению к плоскости H. Причем точка А видимая. Она заслоняет точку В. Точка В невидимая.

Аналогично, С D k V. С - видимая. D - невидимая.

Рис.4

На эпюре из двух конкурирующих  точек будет видима та проекция, которая дальше отстоит от плоскости  проекций, по отношению к которой  они конкурируют.

Рассмотрим общий случай: Плоскость и пересекающая ее прямая произвольно расположены в пространстве.

Для нахождения точки встречи  прямой с плоскостью в этом случае нужно:

• Через прямую m провести вспомогательную плоскость S; m S
• Построить прямую пересечения l плоскостей   и S; l= S.
• Построить точку пересечения К - точку встречи, как результат пересечения прямых l и m. K=l m.

Рис.5

Рис.6

12 V  22  m2  M1 H  31 m1

При определении видимости  на плоскость Н рассматриваем  проекции конкурирующих точек на плоскость V, а при определении  видимости на плоскость V рассматриваем  проекции конкурирующих точек на плоскости Н.

Пример. Определить точку  встречи прямой m и плоскости Р, заданной треугольником АВС.

Рис.7

32 m2  42 [B2C 2]  11 [A1C1]  51  m1

Пересечение плоских  фигур.

Для построения линии пересечения  плоских фигур рекомендуется  найти точки встречи двух сторон одной плоской фигуры с плоскостью другой фигуры.

Метрические задачи.

Метрические задачи - задачи, в которых определяют размеры  геометрических элементов и расстояния между ними.

Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей, наряду с определением расстояния между двумя точками, являются основными графическими операциями при решении метрических задач.