Лекции по "Начертательной геометрии"

Недостаток пространственной модели - её громоздкость, поэтому пользуются плоскостной моделью координатных плоскостей проекций - эпюром. Построение эпюра рассмотрим на примере построения эпюра точки.

II ТОЧКА И ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

1. Проецирование точки  на две плоскости проекций.

Точка - основное, неопределяемое понятие геометрии. Она не может  быть определена более элементарными понятиями. Точка не имеет размеров.

Пусть заданы точка А и три взаимно перпендикулярных плоскости проекций. Построим проекции точки в первом октанте (рис.6).

Отрезки:

• [AA₃]=[OA_x] - абсцисса точки А
• [AA₂]=[OA_y] - ордината точки А
• [AA₁]=[OA_z] - аппликата точки А

Прямые (AA₁),(AA₂),(AA₃) - проецирующие прямые (проецирующие лучи):

• (AA₁) - горизонтально проецирующая прямая
• (AA₂) - фронтально проецирующая прямая
• (AA₃) - профильно проецирующая прямая

2. Проецирование точки  на три плоскости проекций.

Чтобы получить эпюр точки, нужно  преобразовать пространственный макет. 
Фронтальная проекция точки А - A₂ остаётся на месте, как принадлежащая плоскости V, которая не меняет своего положения. 
Горизонтальная проекция A₁ вместе с горизонтальной плоскостью проекций H, совмещаемой с плоскостью чертежа, опустится вниз и расположится на одном перпендикуляре к оси x с фронтальной проекцией A₂. 
Профильная проекция A₃ будет вращаться вправо вместе с профильной плоскостью проекций W до совмещения с плоскостью чертежа. При этом A₃ будет принадлежать перпендикуляру к оси z, проведённому через A₂, и удалена от оси z на такое же расстояние, на которое горизонтальная проекция A₁ удалена от оси x.

Таким образом, ЭПЮРОМ (комплексным  чертежом точки) называется плоское  изображение, полученное в результате ортогонального проецирования на две  или несколько взаимно перпендикулярных плоскостей путём последующего совмещения этих плоскостей с одной плоскостью проекций (рис.7).

Действительно, чтобы определить положение точки А в пространстве, необходимо знать 3 её координаты (x,y,z) - длины отрезков [AA₃],[AA₂],[AA₁]. Величины этих отрезков могут быть определены на эпюре. 
[AA₃]=[A₁A_y]=[A₂A_z] 
[AA₂]=[A₁A_x]=[A₃A_z] 
[AA₁]=[A₂A_x]=[A₃A_y]

Горизонтальная проекция точки А определяется абсциссой x и ординатой y, фронтальная - x и z, профильная - y и z, т.е. 
A₁(x,y) 
A₂(x,z) 
A₃(y,z)

Отсюда следует, в частности, что:

• положение точки в пространстве вполне определяется положением её двух ортогональных проекций (т.к. по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда можно построить недостающую её третью ортогональную проекцию)
• горизонтальная и фронтальная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси x 
  горизонтальная и профильная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси y 
  фронтальная и профильная проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи) к оси z

Построение безосного  эпюра точки.

В тех случаях, когда нет  необходимости в определении  положения точки (или любой другой геометрической фигуры) относительно координатной системы плоскостей проекций, можно не указывать на эпюре оси  координат, т.е. для безосного чертежа  плоскости проекций принимаются  неопределёнными до параллельного  переноса (могут перемещаться параллельно  самим себе) а значит, не рисуются и не обозначаются на эпюре.