Эллипс и его каноническое уравнение.

Министерство  образования и науки Российской Федерации 
ГАОУ СПО «Еланский аграрный колледж» 
 
 
 
 
 
 
Курсовая работа 
 
Эллипс и его каноническое уравнение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
Елань 2013

 

 

Содержание

1. Введение 
2. Эллипс и его уравнение 
3. Связанные определения 
4. Свойства эллипса 
5. Эллипс как кривая второго порядка 
6. Каноническое уравнение эллипса 
7. Длина дуги эллипса 
8. Приближённые формулы для периметра 
9. Площадь эллипса и его сегмента 
10. Построение эллипса 
11. Литература, ссылки

 

 

 

Введение 

 

Впервые кривые второго порядка  изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы  угла, ими образованного, то получится  конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в  сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько  вырожденных фигур.

Однако эти научные  знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты  движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Эллипс и его уравнение

 

Определение 1. Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы эллипса обозначаются буквами   и   , расстояние между фокусами – через  , а сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – через  . Причем 2a > 2c.

Каноническое уравнение эллипса  имеет вид:  , где    связаны между собой равенством a² + b² = c² ( или b² – a² = c²).

Величина   называется большой осью, а    – малой осью эллипса.

Определение 2. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.

Обозначается буквой  .

Так как по определению 2a>2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е.   .

Если величина   эксцентриситета приближается к единице, то эллипс сильно вытянут; если же ближе к нулю, то эллипс имеет более округлую форму. Если эксцентриситет равен нулю, то эллипс вырождается в окружность.

 
 
 
 

 

Связанные определения

• Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
• Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
• Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
• Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
• Расстояния   и   от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Расстояние   называется фокальным расстоянием.
• Величина   называется эксцентриситетом.
• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
• Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле  , где   — угол между радиус-вектором  данной точки и осью абсцисс.
• Фокальным параметром   называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
• Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью:   Величина, равная   называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением 
• Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как   для фокусов   соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  Свойства

Оптические

• Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
• Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
• Если   и   — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой   равен углу между этой касательной и прямой  .
• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр  эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
• Эволютой эллипса является астроида.
• Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
• Эксцентриситет эллипса равен отношению    
  Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать  как:

• фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
• ортогональную проекцию окружности на плоскость.
• Пересечение плоскости и кругового цилиндра. 
   
  

 
 
 
 
 
 
 — большая полуось;

 — малая полуось;

 — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);

 — фокальный параметр;

 — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

 — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

.

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Эллипс как  кривая второго порядка 
 
Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах   и   где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями  эллипса:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Каноническое уравнение эллипса.

 
Теорема. В канонической для эллипса  системе координат уравнение эллипса имеет вид:                                   

.                                     (4)  

 Доказательство. Доказательство  проведем в два этапа. На  первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:                                   

.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

,  , откуда получаем:                 

.

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:                     

.

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:                      

.

Возводим в квадрат               

.

Раскрываем скобки и сокращаем  на  :                  

,

откуда получаем:                

.

Используя равенство (2), получаем:                                

.

Разделив последнее равенство на  , получаем равенство (4), ч.т.д.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.  

 Тогда из (4) следует:                               

.

Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом,  . Аналогично,  .

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

 или   и т.к.  , то отсюда следует неравенство:                              

.

Отсюда, в свою очередь, следует, что

 или   и                             

   ,  .                          (5)

Из равенств (5) следует, что  , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Канонические для эллипса оси координат называются главными осями эллипса.

Определение. Начало канонической для  эллипса системы координат называется центром эллипса.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Длина дуги эллипса 
 
 
Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим  представлением эллипса получаем следующее выражение:

После замены   выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит  семейству эллиптических интегралов которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода  . В частности, периметр эллипса равен:

,

где   — полный эллиптический интеграл второго рода.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Приближённые  формулы для периметра 

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие  погрешности в широком диапазоне  эксцентриситетов дает формула:

, где 

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Cущественно лучшую точность при   обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение  осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Площадь эллипса и его  сегмента 
 
Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки   и 

Если эллипс задан уравнением  , то площадь можно определить по формуле 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Построение эллипса 
ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА (точное невозможно при помощи циркуля и линейки)

Пусть даны две взаимно перпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим как O, это центр эллипса. 
 
С помощью циркуля 
 
Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямых точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке Q₁ (или Q₂) отметим на отрезке P₁Р₂ точки F₁ и F₂. Полученные точки являются фокусами эллипса.
2. На отрезке P₁Р₂ выберем произвольную точку T. Затем с помощью циркуля начертим две окружности: первую — радиуса, равным длине отрезка TP₁, с центром в точке F₁ и вторую радиуса, равным длине отрезка TP₂, с центром в точке F₂. Точки пересечения этих окружностей принадлежат искомому эллипсу, так как сумма расстояний из обоих фокусов равна длине большой оси 2a.
3. Повторяя необходимое число раз шаги предыдущего пункта, получим искомый эллипс.