Способы решение уравнений

Министерство образования Республики Башкортостан

Муниципальный район Баймакский район

МОБУ СОШ с.  Темясово

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способы решения квадратных уравнений

учебно-исследовательская работа

 

 

 

 

 

 выполнили учащиеся 9 класса

Л.Р. Буранбаева, И.Я. Салаватова,

Руководитель Абдрахманова З.А.

 учитель  математики

 

 

 

 

Содержание

 Введение

1. История развития квадратных  уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем  Вавилоне

1.2 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

      О теореме Виета.

2. Способы решения квадратных  уравнений

Заключение

Литература

Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

            Великий учёный Михаил Ломоносов  призывал: « Старайся дать уму  как можно больше пищи…». К  этому сегодня стремиться каждый, кто хочет занять в современном  обществе достойное место, кто  хочет быть полезным обществу. К этому стремимся и мы.

             Желание найти более простые  способы решения квадратных уравнений, научиться решать более сложные  задания, предлагаемые нашим преподавателем, побудило нас искать ответы  на вопросы. И вот получилась  наша работа, которую мы предлагаем  вашему вниманию и, которая, надеемся, будет полезна всем, кто интересуется  вопросами математики.

               Целью нашей работы – есть рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах, которые мы сами подбирали, сами составляли и сами решали. Эти уравнения и задачи, помогут нам и всем, кто готовится сдавать ГИА,  ЕГЭ и поступающим в ВУЗы. Составить алгоритм решения квадратных уравнений.

             Предметом исследования являются квадратные уравнения.

            Задачи исследования:

      1. Изучить учебную и научно-популярную литературу, ресурсы сети Интернет, с целью получения информации о квадратных уравнениях.

       2.  Изучить историю развития квадратных уравнений.

      3.  Изучить   способы решения квадратных уравнений, научиться решать более сложные задания.

      4.  Составить алгоритм решения квадратных уравнений.

 

       Наша проектная работа состоит из введения, основной части, заключения, списка литературы и приложения.

     Во введении содержится обоснование актуальности выбранной темы, определенны цель и задачи работы.

      В основной части представлена история возникновения  квадратных уравнений в Индии, Древнем Вавилоне, Европе; виды квадратных уравнений; некоторые частные случаи, их способы решения.

           В заключении делается, вывод  из проделанной работы. Список   использованной литературы содержит 5 наименований.

           В приложении содержится конкретные примеры решения квадратных уравнений различными способами.

 

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения  в Древнем Вавилоне.

          Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй  степени еще в древности была  вызвана потребностью решать  задачи, связанные с нахождением  площадей земельных участков  и с земляными работами военного  характера, а также с развитием  астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать  около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X2 + X = ¾; X2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

 Как составлял и решал  Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е.10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96 или же: 100 - х2 = 96 , х2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.   Решение      х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,      у2 - 20у + 96 = 0. (2)

1.2 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI -XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х2 + bx =с,при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,  с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A2, равно BD, то A равно В и равноD».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b)х - х2 = ab, т.е. х2 - (а + b)х + аb = 0,

то х1 = а, х2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных  уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется несколько способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала 6 из них.

 

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х2 + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2.СПОСОБ: Метод выделения  полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных  уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Примеры.

а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 - 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень; 

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0,

уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

4. СПОСОБ: Решение уравнений  с использованием 

теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два корня. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.Например,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен  (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

5. СПОСОБ: Решение уравнений  способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

 

 

 

 

Заключение