Эллипс и его каноническое уравнение.

С помощью циркуля и линейки

1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P₁ и Р₂, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q₁ и Q₂. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P₁Р₂ и Q₁Q₂ — его большая и малая оси, соответственно.
2. С помощью линейки проводим через точку O произвольную наклонную линию. Затем раствором циркуля, равным а, с центром в точке O отмечаем на ней точку S, а раствором, равным b — точку R.
3. Затем из точки S опускаем перпендикуляр на прямую P₁Р₂. Для этого произвольным раствором циркуля (но бо́льшим, чем расстояние от точки до прямой), с центром в точке S отмечаем на отрезке P₁Р₂ две точки, переносим в них циркуль и отмечаем тем же радиусом точку пересечения окружностей S'. Затем с помощью линейки соединяем точки S и S', это и есть искомый перпендикуляр.
4. Аналогичным способом опускаем перпендикуляр из точки R на прямую Q₁Q₂.
5. Точка пересечения построенных перпендикуляров принадлежит эллипсу.
6. Повторяя необходимое число раз шаги четырёх предыдущих пунктов, получим искомый эллипс.

С помощью двух иголок и нитки

В 2-х чёрных фокусах — 2 иголки, соединённые нитью. В красной точке — карандаш, который натягивает нить

Примем, что

• AA₁ = 2a — это большая ось эллипса,
• BB₁ = 2b — это малая ось эллипса,
• Точки F и F₁ — фокусы эллипса. Фокусы лежат на прямой AA₁ на расстоянии a от точки B. Расстояние между фокусами FF₁ равно 

Этот способ основан на определении (фокальном свойстве) эллипса: эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до фокусов постоянна и равна 2a.

Для этого способа лист бумаги нужно  приколоть к чертёжной доске.

1. В точки фокусов эллипса F и F₁ втыкаются две иголки (иглы́, булавки, кнопки, тонких гво́здика…)

2. К этим двум иголкам привязываются  (у са́мой поверхности бумаги) концы нити длиной 2a — нужно, чтобы между иголками F и F₁ было 2a длины нити. Это удобно осуществить так:

1. Берётся нитка длиной в несколько раз больше 2a.
2. Один из концов нити привязывается к иголке F.
3. В точку B втыкается третья иголка.
4. Нить кладётся на лист дальше иголки B от прямой FF₁, один раз (один виток) оборачивается вокруг иголки F₁ (так что может скользить по ней), затем, держа нить левой рукой за свободный конец, её натягивают вдоль ломанной FBF₁.
5. Свободный конец нити зажимается в кулаке левой руки, и кулак прижимают к листу бумаги в стороне от будущего эллипса — так, чтобы кулак (и нить) не перемещались ни в направлении к точке F₁ ни в направлении прочь от неё. Кулак держать так (зафиксированным) до тех пор, пока эллипс не будет построен. Вместо удерживания конца нити рукой, можно привязать конец нити к четвёртой иголке или кнопке, и, натянув нить, воткнуть эту иголку/кнопку в стороне от будущего эллипса.
6. Выдёргиваем (удаляем) иголку B (нить при этом утрачивает натяжение).

• Примечание: Вместо точки B третью иголку можно было воткнуть в точку A.

3. Грифелем карандаша оттягиваем  участок нити между иголками F и F₁ в сторону от прямой AA₁, натягивая нить.

4. Оттягивающий нить грифель  карандаша прижимаем к бумаге  и, скользя грифелем по натянутой  нити от точки A до точки A₁, рисуем половину эллипса, лежащую по одну сторону от прямой AA₁.

5. Располагаем грифель карандаша  по другую сторону от нити, оттягиваем нить в другую сторону  от прямой AA₁ и, так же как первую, рисуем вторую половину эллипса.

Чтобы нить не спадала вниз с грифеля  карандаша, на лист бумаги под нить можно подложить шайбу от резьбового соединения (шайбу подходящей толщины) и оттягивающим нить грифелем касаться бумаги внутри отверстия шайбы — чтобы во время рисования эллипса натянутая нить лежала на шайбе (грифель будет перемещать шайбу по бумаге и вдоль нити).

Усовершенствование способа

Можно не привязывать нить ни к  одной из иголок и нарисовать эллипс одним движением карандаша, а  не двумя:

1. Так же втыкаем три иголки — в точки F, F₁ и B.
2. Треугольник FF₁B окружаем и обтягиваем нитью, и связываем концы натянутой нити — получается кольцо из нити. Длина кольца равна периметру треугольника FF₁B.
3. Выдёргиваем (удаляем) иголку B (кольцо из нити при этом утрачивает натяжение).
4. Поместив грифель карандаша внутри кольца из нити, оттягиваем грифелем нить в сторону от прямой FF₁, натягивая нить. Затем, удерживая нить натянутой, прижимаем грифель к бумаге и, скользя грифелем по натянутой нити вокруг отрезка FF₁, рисуем эллипс не двумя движениями руки с карандашом, а одним (круговым).

Литература 
 
Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.

• Селиванов Д. Ф., Эллипс // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
• А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.
• S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae
• Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers), 2000-2005. — 20 c.
• Видео: Как нарисовать эллипс