Шпаргалка по "Менеджменту"

Таким образом, для игры с седловой точкой нахождение решения заключается в выборе максиминной и минимаксной стратегии, которые и являются оптимальными.

 

вопрос 23=21

Вопрос №24

Основная теорема теории матричных игр, или теорема о минимаксе. Если – матрица игры Г и для всех  и   , то величины  и  существуют и равны между собой (эта величина и является ценой игры v).

Из теоремы следует, что всякая матричная игра имеет цену; игрок в матричной игре всегда имеет оптимальную стратегию.

 

Вопрос №25

Графический метод применим к тем играм, в которых хотя бы один из игроков имеет две стратегии.

Основные этапы нахождения решения игры 2×n или m×2:

1.Строят  прямые, соответствующие стратегиям первого (второго) игрока.

2.Определяют  нижнюю (верхнюю) границу выигрыша.

3.Находят  две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две  прямые, пересекающиеся в точке  с максимальной (минимальной) ординатой.

4.Определяют  цену игры и оптимальные стратегии.

Поясним метод на примераx.

Пример 1. Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.

На плоскости xОy введём систему координат и на оси Оx отложим отрезок единичной длины А1, А2, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (x, 1 - x). В частности, точке А1 (0;0) отвечает стратегия А1, точке А2 (1;0) – стратегия А2 и т.д.

 

В точкаx А1 и А2 восстановим перпендикуляр и на полученныx прямыx будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии А1, а на втором – при стратегии А2. Если игрок 1 применит стратегию А1, то выиграет при стратегии В1 игрока 2 – 2, при стратегии В2 – 3, а при стратегии В3 – 11. Числам 2, 3, 11 на оси 0x соответствуют точки В1, В2 и В3.

Если же игрок 1 применит стратегию А2, то его выигрыш при стратегии В1 равен 7, при В2 – 5, а при В3 – 2. Эти числа определяют точки В'1, В2', В3' на перпендикуляре, восстановленном в точке А2.Соединяя между собой точки В1 и В'1, В2 и В'2, В3 и В'3 получим три прямые, расстояние до которыx от оси 0x определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующиx стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В1В'1 до оси 0x определяет средний выигрыш u1 при любом сочетании стратегий А1 А2 (с частотами x и 1–x) и стратегией В1 игрока 2. Это расстояние равно

2x1 + 6(1 - x2) = u1

(Вспомните  планиметрию и рассмотрите трапецию  А1 B1 B'1 A2). Таким образом, ординаты точек, принадлежащиx ломанной В1 M N В'3 определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любыx смешанныx стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* = (x, 1-x), а её ордината равна цене игры u. Координаты точки N наxодим как точку пересечения прямыx В2 B'2 и В3 B'3.

Соответствующие два уравнения имеют вид

.

 

Следовательно Х = ( ; ), при цене игры u = . Таким образом мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы

Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы

и, следовательно, Y = (0; ; ). (Из рисунка видно, что стратегия B1 не войдёт в оптимальную стратегию.

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей

 

Решение. Матрица имеет размерность 2 x 4. Строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1. Ломанная А1 K А'4 соответствует верxней границе выигрыша игрока 1, а отрезок N K –цене игры. Решение игры таково

U = ( ; ); Х = ( ; 0; 0; ); u = .

 

 

 

26. Аналитическое решение смешанной игры.

Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию игрока А: и соответствующую цену игры ν, необходимо решить систему уравнений:

     (3.12)

Первое уравнение определяет математическое ожидание выигрыша игрока А при использовании им стратегии против стратегии ; второе уравнение определяет математическое ожидание выигрыша игрока А при использовании им стратегии против стратегии ; третье уравнение – свойство компонентов смешанной стратегии игрока.

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что получим

            (3.13)

Аналогично для игрока В. Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию игрока В: и соответствующую цену игры ν, решаем систему уравнений:

     (3.14)

Получим:

   (3.15)

Цена игры общая для обоих игроков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27. Методика мажорирования стратегий.

 

Мажорирование представляет отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы:

(1.27)

Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей стратегии перед второй, поскольку при первой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и -0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

(1.28)

 С позиции  игрока 1 его первая стратегия  оказывается хуже второй, так  как по первой стратегии он  только проигрывает. Поэтому первую  стратегию можно исключить, а  матрицу игры преобразовать к  виду: (0 0,5).

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в проигрыше (0,5 - выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка.

Мажорирование можно распространить и на смешанные стратегии. Если элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных комбинаций соответствующих элементов других строк, то эту стратегию можно исключить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами использования чистых стратегий.

В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицу игры:

(1.29)

Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмем частоты их применения (вероятности) равными 0,25 и 0,75.

Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией первой и второй чистых стратегий, взятых с частотами 0,25 и 0,75 соответственно, т.е. смешанной стратегией:

24 × 0,25 + 0 × 0,75 = 6 > 4; (1.30)

0 × 0,25 + 8 × 0,75 = 6 > 5. (1.31)

Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить, используя вместо нее указанную выше смешанную стратегию.

Аналогично, если каждый элемент некоторого столбца больше или равен некоторой выпуклой линейной комбинации соответствующих элементов некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть из матрицы). Например, для матрицы

(1.32)

третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:

10 × 0,5 + 0×0,5 = 5 < 6; (1.33)

0 × 0,5 + 10 × 0,5 = 5 < 7. (1.34)

Таким образом, исходная матрица игры эквивалентна матрице следующего вида:

(1.35)

Как видно, возможности мажорирования смешанными страте­гиями в отличие от чистых значительно менее прозрачны (нужно должным образом подобрать частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, и ими полезно уметь пользоваться.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28. Понятие и содержание «игр с природой»

 

 

    На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр [4] позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых, маркетинговых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле и других отраслях народного хозяйства. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных товарных совокупностей, при проверке статистических гипотез и других предположений, касающихся оценки возможностей предприятий и запросов потребителей. 
        Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это означает, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликта. 
     Ситуации, описываемые традиционными моделями в виде стратегических игр, в экономической практике не могут в полной мере оказаться адекватными действительности, поскольку реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенности должно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методов моделирования принятия решений в условиях неопределенности и риска. 
     Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые «игры с природой». Формально изучение «игр с природой», так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату. 
        Отличительная особенность «игры с природой» состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых игроком 2 действительно может быть природа (например обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами). 
     Прежде чем рассмотреть конкретные методы оценки качества планирования и управления, целесообразно напомнить несколько основных определений, широко используемых в теории игр (в том числе «игр с природой»).  
     Игра — упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон. 
     Игрок — одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока — его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра.  
     Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет m стратегий Ai, а игрок 2 — n стратегий Пj (i = 1,...,m; j = 1,...,n). Игра может быть названа игрой (m x n). Представим матрицу эффективности игры двух лиц с нулевой суммой, сопроводив ее необходимыми обозначениями. 
     Матрица «игры с природой» определяется следующим образом:   , где aij — выигрыш игрока 1 при реализации его стратегии i и стратегии j игрока 2 (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n). 
     Для иллюстрации игры с природой можно рассмотреть проблему определения объемов и стоимости некоторого товара, предназначенного для продажи на рынке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29. Матрица рисков в «играх с природой».

 

Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элементы матрицы рисков находятся по формуле

где - максимальный элемент в столбце исходной матрицы. Оптимальная стратегия определяется выражением

При принятии решений в условиях неопределенности следует оценивать различные варианты с точки зрения нескольких критериев. Если рекомендации совпадают, можно с большей уверенностью выбрать наилучшее решение; если рекомендации противоречат друг другу, окончательное решение надо принимать с учетом его сильных и слабых сторон.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30. Критерии принятия решений в «играх с природой».

Применение каждого из перечисленных критериев проиллюстрируем на примере матрицы выигрышей или связанной с ней матрицы рисков. 
Критерий максимакса. С его помощью определяется стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего оптимизма. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш, равный  . 
Нетрудно увидеть, что для матрицы  А наилучшим решением будет А1, при котором достигается максимальный выигрыш - 9. 
Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал». 
Максиминный критерий Вальда. С позиций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник типа тех, которые противодействуют в стратегических играх. Выбирается решение, для которого достигается значение . 
Для платежной матрицы А нетрудно рассчитать: 
• для первой стратегии (i = 1)  ; 
• для второй стратегии (i=2)  ; 
• для третьей стратегии (i=3)  . 
Тогда  , что соответствует второй стратегии A2 игрока 1. 
В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучший (W = 3). Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску. 
Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей А, а матрицей рисков R: 
 
Для матрицы R (3.2) нетрудно рассчитать: 
• для первой стратегии (i=1)  ; 
• для второй стратегии (i=2)  ; 
• для третьей стратегии (i=3)  . 
Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, достигается при использовании первой стратегии А1. 
Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением  
При p = 0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при р = 1 - с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А (3.1) при р = 0,5: 
• для первой стратегии 
 
• для второй стратегии 
 
• для третьей стратегии 
 
Тогда  , т.е. оптимальной является вторая стратегия А2. 
Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оптимизма Гурвица имеет вид: 
 
При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков ( ); при р = 1 - по критерию минимаксного риска Сэвиджа. 
В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию, например в расчет могут приниматься средние квадратичные отклонения от средних выигрышей при каждой стратегии. Данная идея отвечает подходу, рассмотренному в разд.1.2 (см. рис. 1.1). Еще раз подчеркнем, что здесь стандартного подхода нет. Выбор может зависеть от склонности к риску ЛПР.

 

 

 
31. Использование дерева решений

На практике результат одного решения заставляет нас принимать следующее решение и т. д. Когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего решения или исходов испытаний, то применяют схему, называемую деревом решений.

Дерево решений — это графическое изображение процесса принятия решений, в котором отражены альтернативные решения, альтернативные состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Рисуют деревья слева направо. Места, где принимаются решения, обозначают квадратами □, места появления исходов — кругами ○,возможные решения — пунктирными линиями --------, возможные исходы — сплошными линиями ——.

Для каждой альтернативы мы считаем ожидаемую стоимостную оценку (EMV) — максимальную из сумм оценок выигрышей, умноженных на вероятность реализации выигрышей, для всех возможных вариантов.

Пример дерева решений

 

32 НЕТ

33. Функция полезности  Неймана-Моргенштерна

Основные определения и аксиомы. Методология рационального принятия решений в условиях неопределенности, основанная на функции полезности индивида, опирается на пять аксиом, которые отражают минимальный набор необходимых условий непротиворечивого и рационального поведения игрока (Аксиома сравнимости (полноты), Аксиома транзитивности (состоятельности). Аксиома 3. Если х   у, то G(x, z: α)   G(y, z: α), Аксиома измеримости, Аксиома ранжирования).

При названных предположениях американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном было показано, что лицо принимающее решение (ЛПР) при принятии решения будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности. Другими словами, из всех возможных решений он выберет то, которое обеспечивает наибольшую ожидаемую полезность. Сформулируем определение полезности по Нейману-Моргенштерну. Полезность – это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. Функция полезности Неймана - Моргенштерна для ЛПР показывает полезность, которую он приписывает каждому возможному исходу. У каждого ЛПР своя функция полезности, которая показывает его предпочтение к тем или иным исходам в зависимости от его отношения к риску.

Ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов.

Типы функции полезности Неймана – Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в).