Приложение производной в экономической теории

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российская таможенная академия»

 

Кафедра таможенной статистики

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический Анализ»

на тему «Приложение производной в экономической теории»

 

 

Выполнил: А.И. Корюков, студент 1-го курса очной формы обучения

экономического факультета, группа Эб02/1303 

Подпись _____________________

 

Научный руководитель С.В. Суржик

к.э.н., доцент кафедры таможенной статистики

Подпись _____________________

 

 

 

 

 

 

Люберцы

2013

Содержание

Введение…………………………………………………………………3-4

1. Понятие производной……………………………………………....4-5

2. Геометрический смысл  производной……………………………..5-6

3. Физический смысл производной…………………………….……6-8

4. Правила дифференцирования……………………………….…….8-9

5. Производные высших порядков…………………………...……9-10

6. Изучение функции с  помощью производной

6.1.Возрастание и убывание  функции. Экстремум функции……11-15

6.2.Достаточные условия  убывания и возрастания функции.

Достаточные условия экстремума функции………..……..……..15-16

6.3 .Правило нахождения экстремума……………………………....16

6.4.Точка перегиба графика функции………………………...….16-20

6.5.Общая схема исследования  функции и построение ее графика..20

6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой……..……………20-21

7.Экономическое приложение  производной.

7.1.Экономическая интерпретация производной………………21-26

7.2. Применение производной в экономической теории……....26-28

7.3. Использование производной  для решения задач по экономической теории………………………………………………………………28-31

Заключение.…………………………………………...……………………32

Список литературы………………………………………………...………33

 

 

 

2

 

Введение

 

Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.

Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция  есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в этом определении: а А !b B. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования.       3

 

В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.

В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях производной.

 

1. Понятие производной

 

  При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

 

  Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 
  1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x); 

4

 

  2) составляем отношение

 

  3) считая x постоянным, а D x ¦0, находим , который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу. 
  Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. 
  Таким образом, ,  или 

 

  Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический  смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке

 

5

B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x;          ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x0), так как a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по  определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит,  k = tga = f '(x0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

 

3. Физический смысл  производной.

 

  Рассмотрим движение  точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t0; t0+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве   при ∆t → 0.

lim Vср (t) = n(t0) - мгновенная скорость в момент времени t0,  ∆t → 0.

а lim  = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению производной).

 

6

Итак, n(t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = n'(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ'(t) - угловая скорость,

ε  = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x Î [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω2x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

7

 

у = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt + φ0), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,

φ0 - начальная фаза.

 

4. Правила дифференцирования

 

(C)’= 0      С=const
(cos x)'=-sin x
(sin x)'=cos x
(tg x)'=	(ах)'=аx ln a
(ctg x)'=-	(ех)'=ex

 

 

                                         

                                    

Производная степенно-показательной функции

 

8

, где  .

.

Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция . При этом предполагается, что функция не обращается в нуль в точке . Покажем один из способов нахождения производной функции , если очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти производную затруднительно.

Так как по первоначальному предположению не равна нулю в точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию и  вычислим ее производную

     (1)

Отношение называется логарифмической производной функции . Из формулы (1) получаем

. Или        

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции .

 

5. Производные  высших порядков

 

  Ясно, что производная функции y =f (x) есть также функция от x:

 

 

 

 

 Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или

                                                               9

производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением можем написать

 

  Очень удобно пользоваться также обозначением , указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза. 
  Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами .

 

  Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1)   ;  ;  ; ...; 

;   .

Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

 

10

6. Изучение функции  с помощью производной

6.1.Возрастание  и убывание функции. Экстремум  функции.

 

  Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.

Рис.1 (а)

Рис.1 (б)

 

  Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки. 
  График возрастающей функции показан на рисунке1(а). 
  Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ³ f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C 
  Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.