Приложение производной в экономической теории

 

   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga > tgj т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)³0. 
   Докажем, что и наоборот, если f ''(x)£0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)³0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз. 
   Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ). Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде                  y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ).      (1)

 

   Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

     (2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим:    (3)

 

   Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]£0, где 0 < Q < 1, то имеем  f(x) - y £ 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх. 
   Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]³0, то имеем  f(x) - y ³ 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз. 
   Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.

18

Рисунок 4.

 

   Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4).  (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная). 
   Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует. 
   Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h) - больше нуля. 
   Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.

 

   Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4).  (В этом определении предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная). 
   Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует. 
   Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h) - больше нуля. 
   Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.

Рисунок 5.

 

   На рис.5 изображен график функции . Хотя при x0 = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

 

   На рис.5 изображен график функции . Хотя при x0 = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0   f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0   f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх. 
   Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

19

 

  Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная. 
   Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема  исследования функции и построение  ее графика.

 

   1. Находим область определения  функции f(x) 
   2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж. 
   3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат. 
   4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже. 
   5. Находим асимптоты кривой, если они имеются. 
   6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами. 
   7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже. 
   8. Вычерчиваем кривую y = f(x).

6.6. Касательная  и нормаль к плоской кривой.

   Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок). 
   Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде       y - y1 = f '(x1)(x - x1)

20

 

   Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

 

7.Экономическое  приложение производной.

7.1.Экономическая  интерпретация производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а  х - количество продукции, тогда Dx- прирост продукции, а Dy - приращение издержек производства.

 

21

В этом  случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на

производство дополнительной единицы продукции ,где MC – предельные издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q - количество.

Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).

Аналогичным образом могут быть определены и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к  (n+1)-ой единице продукта.

 

Она представляет собой первую производную от выручки: .

При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).

Таким образом  , Þ MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на формирование цены. В основе рассматриваемого подхода - исследования А. Маршалла.

Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И. Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители,

22

имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.

 В соответствии с  первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах  х1,  x2,… хn, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х1, x2,… xn).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных: . Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага  i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара  y.

Они определяются так:    .

Т.к. dy отрицательно, знак  "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия.

23

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление  C  и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или функцией потребления.

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: .

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal propensity to save):  .

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных

 

24

вложений труда (L – labor) при неизменной величине капитала: .

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то , т.к. dY - результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.

Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда: .

Если вложения осуществляются малыми порциями, то .

MPk - характеризует предельную производительность капитала.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение:  Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0:

.

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении) его цены P на 1%:  .

Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных колебаниях цены  товара j (j = 1,2,…n):  .

25

Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает коэффициент эластичности спроса по доходу, который указывает, на сколько процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на текущее потребление, изменится на 1%:  .