Если кривая y = f(x) обращена
выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно
видно, что tga > tgj т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому
в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает.
Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная
возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна
или равна нулю: f ''(x)³0.
Докажем, что и наоборот, если f ''(x)£0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале
кривая y = f (x) обращена выпуклостью
вверх; если f ''(x)³0 в интервале (a, b), то в этом интервале
кривая обращена выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ). Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому
последнее уравнение можно записать в
виде y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)
Но, согласно формуле Тейлора,
при n = 2 имеем:
(2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая
почленно из уравнения (2) уравнение (1),
получим:
(3)
Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]£0, где 0 < Q < 1, то имеем f(x) - y £ 0
откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью
вверх.
Если f ''[x0 + Q(x - x0 )]³0, то имеем f(x) - y ³ 0 откуда следует,
что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью
вниз.
Так как была зафиксирована произвольная
точка x интервала (a, b), то высказанное
выше утверждение доказано.
18
Точка кривой, в которой кривая
меняет направление изгиба, т.е. переходит
от выпуклости вверх к выпуклости вниз
или наоборот, называется точкой перегиба
кривой (рис.4). (В этом определении предполагается,
что в точке перехода кривой от выпуклости
вверх к выпуклости вниз (или наоборот)
имеется единственная
касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную
вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует.
Доказательство.
Рассмотрим для определенности случай,
когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит
от выпуклости вверх в выпуклости вниз
(рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая
производная f ''(x) будет меньше
нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h) - больше
нуля.
Но f ''(x) - функция
непрерывная, а потому, переходя от отрицательных
значений к положительным, она при x = x0 обращается
в нуль: f ''(x0 ) = 0.
Точка кривой, в которой кривая
меняет направление изгиба, т.е. переходит
от выпуклости вверх к выпуклости вниз
или наоборот, называется точкой перегиба
кривой (рис.4). (В этом определении предполагается,
что в точке перехода кривой от выпуклости
вверх к выпуклости вниз (или наоборот)
имеется единственная
касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную
вторую производную f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x0 ) = 0 или не существует.
Доказательство.
Рассмотрим для определенности случай,
когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит
от выпуклости вверх в выпуклости вниз
(рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 - h, x0 ) вторая
производная f ''(x) будет меньше
нуля, а в инетрвале (x0, x0 +h) - больше
нуля.
Но f ''(x) - функция
непрерывная, а потому, переходя от отрицательных
значений к положительным, она при x = x0 обращается
в нуль: f ''(x0 ) = 0.
На рис.5 изображен график функции
. Хотя при x0 = 0 имеется
касательная и точка перегиба, все же вторая
производная f ''(x) не равна
нулю, она даже не существует в этой точке.
В самом деле, имеем
На рис.5 изображен график функции
. Хотя при x0 = 0 имеется
касательная и точка перегиба, все же вторая
производная f ''(x) не равна
нулю, она даже не существует в этой точке.
В самом деле, имеем
Итак, f ''(0) не существует.
Но тем не менее точка O(0; 0) является
точкой перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая
выпукла вниз, а при x > 0 f ''(x) < 0 и кривая
выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности
второй производной f ''(x) обращение
в нуль или несуществование ее в какой-нибудь
точки кривой y = f(x) является необходимым условием
существования точки перегиба. Однако
это условие не является достаточным.
19
Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет
знак при x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой
перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно,
что в точке A существует касательная.
Доказательство.
Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда
в интервале (x0 - h; x0 ) кривая y = f(x) обращена
выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) - выпклостью
вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть
точка перегиба кривой, что и требовалось
доказать.
6.5.Общая схема
исследования функции и построение
ее графика.
1. Находим область определения
функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат
и наносим их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно
осей координат и начала координат.
4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность.
Если функция имеет в точке x0 разрыв,
то отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции
и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной
и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость
вверх или вниз, находим точки перегиба
кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y = f(x).
6.6. Касательная
и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней.
Требуется составить уравнения касательной
и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной
к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен
значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно,
уравнение касательной можно записать
в виде уравнения прямой, проходящей через
данную точку в данном направлении, т.е.
в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)
20
Нормалью называется прямая, проходящая
через точку касания перпендикулярно
касательной. поэтому ее угловой коэффициент
равен
, а уравнение записывается в виде
7.Экономическое
приложение производной.
7.1.Экономическая
интерпретация производной
В экономической теории активно
используется понятие «маржинальный»,
что означает «предельный». Введение этого
понятия в научный оборот в XIX веке позволило
создать совершенно новый инструмент
исследования и описания
экономических явлений - инструмент,
посредством которого
стало возможно ставить и решать новый
класс научных проблем.
Классическая экономическая
теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела
дело со средними величинами:
средняя цена, средняя производительность
труда и т.д. Но постепенно сложился
иной подход. Существенные закономерности
оказалось можно обнаружить в области
предельных величин.
Предельные или пограничные
величины характеризуют не состояние
(как суммарная или средняя
величины.), а процесс, изменение
экономического объекта. Следовательно, производная выступает
как интенсивность изменения некоторого
экономического объекта (процесса) по
времени или относительно другого
исследуемого фактора.
Надо заметить, что экономика
не всегда позволяет использовать
предельные величины в силу прерывности
(дискретности) экономических показателей
во времени (например, годовых, квартальных,
месячных и т.д.). В то же время во многих
случаях можно отвлечься от дискретности
и эффективно использовать предельные
величины.
Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства,
а х - количество
продукции, тогда Dx- прирост продукции, а Dy - приращение издержек производства.
21
В этом случае производная
выражает предельные издержки производства
и характеризует приближенно дополнительные
затраты на
производство дополнительной
единицы продукции
,где MC – предельные издержки (marginal costs);
TC – общие издержки (total costs); Q - количество.
Геометрическая интерпретация
предельных издержек - это тангенс угла
наклона касательной к кривой в данной
точке (см. рис.).
Аналогичным образом могут
быть определены и многие другие экономические
величины, имеющие предельный характер.
Другой пример - категория предельной
выручки (MR— marginal revenue) — это дополнительный
доход, полученный при переходе от производства
n-ной к (n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую
производную от выручки:
.
При этом R= PQ, где R–выручка (revenue);
P–цена (price).
Таким образом
, Þ MR= P.
Это равенство верно относительно
условий совершенной конкуренции, когда
экономические агенты каждый по отдельности
не могут оказать влияния на цену.
Обратимся к теориям потребления:
кардиналистской и ординалистской.
Кардиналистский (количественный)
подход к теории цен предполагает равное
влияние величин полезности товара и затрат
на его производства на формирование цены.
В основе рассматриваемого подхода - исследования
А. Маршалла.
Ординалистский (Порядковый)
подход к теории цен разрабатывался И.
Фишером, В. Парето. Суть данного подхода
состоит в том, что потребители,
22
имеющие определенный уровень
доходов, сравнивают между собой цены
и полезность различных наборов экономических
благ и отдают предпочтение тем наборам,
которые при сравнительно низких ценах
имеют максимальную полезность для конкретного
потребителя.
В соответствии с
первой, суммарную полезность U для любого
субъекта, если в экономике существует n потребительских
благ в объемах х1, x2,… хn, можно
выразить в виде кардиналистской функции
полезности:
U= U(х1, x2,… xn).
Предельные полезности MU товаров выступают
в качестве ее частных производных:
. Они показывают, на сколько изменяется
полезность всей массы благ, достающихся
субъекту, при бесконечно малом приращении
количества блага i (i=1,2…n)
В ординалистской теории полагается,
что потребитель оценивает полезность
не отдельных благ, а потребительских
наборов; что он способен сопоставить
полезности наборов товаров.
Ординалистская функция полезности
исследована подробно, значительный вклад
в ее изучение внес Дж. Хикс. После его
трудов началось прогрессирующее вытеснение
понятия "предельная полезность"
категорией предельной нормы замещения
(MRS – marginal rate of substitution).
Предположим, что происходит
замещение товара y товаром х при движении
сверху вниз вдоль кривой безразличия.
Предельная норма замещения товара y товаром x показывает,
какое количество товара x необходимо
для того, чтобы компенсировать потребительскую
утрату единицы товара y.
Они определяются так:
.
Т.к. dy отрицательно,
знак "-" вводится, чтобы MRS была больше
нуля.
Итак, предельная норма замещения
геометрически есть касательная к кривой
безразличия в данной точке. Значение
предельной нормы замещения по абсолютной
величине равно тангенсу угла наклона
касательной к кривой безразличия.
23
Приведем еще один пример элементарного
анализа на микроуровне, который имеет
аналог и на макроуровне.
Любой индивид свой доход Y после уплаты
налогов использует на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица
с низким доходом, как правило, целиком
используют его на потребление, так что
размер сбережения равен нулю. С ростом
дохода субъект не только больше потребляет,
но и больше сберегает. Как установлено
теорией и подтверждено эмпирическими
исследования, потребление и сбережение
зависят от размера дохода:
Y= C(Y) + S(Y).
Зависимость потребления индивида
от дохода называется функцией склонности
к потреблению или функцией потребления.
Использование производной
позволяет определить такую категорию,
как предельную склонность к потреблению
MPC (marginal property to consume), показывающую долю
прироста личного потребления в приросте
дохода:
.
По мере увеличения доходов MPC уменьшается.
Последовательно определяя сбережения
при каждом значении дохода, можно построить
функцию склонности к сбережению или функцию
сбережения. Долю прироста сбережений
в приросте дохода показывает предельная
склонность к сбережению MPS(marginal propensity
to save):
.
С увеличением доходов MPS увеличивается.
Еще одним примером использования
производной в экономике является анализ
производственной функции. Поскольку
ограниченность ресурсов принципиально
не устранима, то решающее значение приобретает
отдача от факторов производства. Здесь
также применима производная, как инструмент
исследования. Пусть применяемый капитал
постоянен, а затраты труда увеличиваются.
Можно ввести в экономический анализ следующую
категорию - предельный продукт труда
MPL(marginal product
of labor) – это дополнительный продукт, полученный
в результате дополнительных
24
вложений труда (L – labor) при
неизменной величине капитала:
.
Если вложения осуществляются
достаточно малыми порциями, то
, т.к. dY - результат, dL - затраты, то MPL – предельная
производительность труда.
Аналогично, MPk - предельный
продукт капитала - дополнительный продукт,
полученный в результате дополнительных
вложений капитала K при неизменной
величине труда:
.
Если вложения осуществляются
малыми порциями, то
.
MPk - характеризует
предельную производительность капитала.
Для исследования экономических
процессов и решения других прикладных
задач часто используется понятие эластичности функции.
Определение: Эластичностью
функции Еx(y) называется предел
отношения относительного приращения
функции y к относительному
приращению переменной x при Dx®0:
.
Эластичность функции показывает
приближенно, на сколько процентов изменится
функция y= f(x), при изменении независимой
переменной x на 1%.
Приведем несколько конкретных
иллюстраций такой зависимости. Прямой
коэффициент эластичности спроса по цене
устанавливает, на сколько процентов увеличивается
(уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении
(увеличении) его цены P на 1%:
.
Перекрестный коэффициент эластичности
спроса по цене
показывает, на сколько процентов изменится
спрос на товар i при однопроцентных
колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n):
.
25
Количественную сторону взаимодействия
дохода и спроса отражает коэффициент
эластичности спроса по доходу, который
указывает, на сколько процентов изменится
спрос на i-тый товар Qi если доход,
предназначенный на текущее потребление,
изменится на 1%:
.