Контрольная работа по "Финансовая математика"

Задание № 1

Предположим, что Вами организована «Финансовая Контора» по сбору денег, которая занимает их под 25% в месяц, условия таковы, что сумма вклада не может быть возвращена ранее 4 месяцев, ежемесячно клиенты ФК будут приносить одинаковую сумму денег – m=88$.

1. За сколько месяцев будет собрана максимально возможная сумма?
2. Ответить на предыдущий вопрос, поменяв в задаче процентную ставку на b=37%.
3. Кому из вкладчиков посчастливится полностью вернуть свои деньги обратно?
4. Ответить на первый вопрос, если число вкладчиков растет в геометрической прогрессии со знаменателем a=98.
5. Привести таблицы, иллюстрирующие изменение сумм собранных денег.
6. На основе полученных таблиц построить средствами MS Excel графики.

Решение:

1) Обозначим - сумму денег, которая будет у организаторов ФК через t месяцев. Рассмотрим первые 6 месяцев:

Из приведенных выше формул видно, что организаторам конторы не имеет смысла работать более 4 месяцев, т.к. уже на пятом все вновь принесенные деньги уйдут на уплату процентов.

Тот же результат можно получить и из других соображений. Обозначим через – сумму, на которую увеличиваются собранные деньги в месяце под номером t. Она равна разности между вновь принесенными деньгами и процентными выплатами за предыдущие месяцы, которых будет t-1.

    (1)

Из формулы (1) видно, что числа образуют арифметическую прогрессию.

Условием разумности продолжения финансовой аферы будет выполнение неравенства . Оно означает, что из вновь поступивших денег хоть что-то остается после уплаты процентов. Решая это неравенство относительно t получаем, t<5. Это совпадает с полученным ранее результатом: надо «трудиться» не более 4 месяцев, а затем уходить с финансового рынка.

2) Предположим теперь, что процентная ставка в месяц равна 37. В этом случае условие продолжения активной финансовой деятельности принимает вид: Решая последнее неравенство относительно t получаем:

                                                 (2)

что подтверждает очевидный факт: чем меньший процент платят организаторы ФК, тем дольше они могут работать с пользой для себя.

Если β=0,37, то организаторам ФК следует работать, в соответствии с формулой (2) не более месяцев.

3) Полностью вернут свои деньги только те, кто принесет их на первом месяце существования ФК, а для остальных ничего хорошего не предполагается, т.к. на возврат требуется 20 месяцев.

4) Если число вкладчиков растет в геометрической прогрессии со знаменателем α=98>1, то в месяце под номером t будет получено $. Деятельность по сбору денег следует продолжать, если организаторам хоть что-то останется после выплаты процентов:

Применив формулу для суммы геометрической прогрессии:

,

преобразуем последнее неравенство

Т.к. α>1 и t>1, то при всех t. Преобразуем последнее неравенство, разделив обе его части на :

.     (3)

Левая часть неравенства (3) всегда положительна. Знак правой части зависит от соотношения между величинами α и β. Отсюда возможны два случая.

Если β<α-1, т.е. процент поступления денег за один период будет больше выплачиваемого процента, то и неравенство (3) будет выполняться при любом t.

Если β>α-1, т.е. процент поступления денег за месяц будет меньше выплачиваемого процента, то и неравенство (3) не будет выполняться. Преобразовав неравенство (3) еще раз

,

и, прологарифмировав, найдем значение t при которых оно будет выполнено:

.     (4)

Приведем таблицу, в которой содержатся длины периодов возрастания собранных сумм денег от процентной ставки и числа вкладчиков

a	b	tmax
1,05	0,37	3
1,1	0,37	4
1,2	0,37	5
1,24	0,37	5
1,01	0,15	7
1,01	0,1	11
1,01	0,05	23

 

 

Изобразим этим полученные данные графически:

Деньги, собранные за несколько месяцев, складываются из денег, собранных за предыдущие месяцы, да еще к ним надо добавить деньги, оставшиеся от принесенных в текущем месяце после уплаты процентов, т.е.

                    (5)

Сумма, на которую в некотором фиксированном месяце увеличиваются собранные деньги, равна разности между вновь принесенными деньгами и процентами по вкладам за предыдущие месяцы:

.

Обозначим при эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем α и первым членом , где .

Перепишем соотношения (5) в форме удобной для вычислений

                                              (6)

Покажем, что при α=1,1 и β=0,37 максимальная сумма денег будет собрана за 4 месяца.

t
1		88	88
2	23,76	64,24	152,24
3	26,14	38,10	190,34
4	28,75	9,35	199,70
5	31,62	-22,27	177,43

 

 

Задание № 2

1) Составить план погашения кредита в размере 900 000 руб. серией из 6 равных платежей, которые должны выплачиваться в конце каждого года. Процентная ставка – 37 % в год.

2) Получен кредит на  потребительские цели в размере 60 000 руб. на 1 год под 70,3% в год. Рассчитать сумму погашения кредита и начисленных процентов уменьшающимися платежами, при условии ежемесячного погашения кредита.

Решение:

1) Величина разового погасительного платежа будет составлять

.

План погашения кредита (график платежей) будет иметь следующий вид:

Годы	Остаток кредита, тыс. руб.	Годовые взносы, тыс.руб.
		Выплаты основного долга, тыс. руб	Процентный платеж, тыс.руб	Всего
1	900,000	59,339	333,000	393,339
2	840,661	81,294	311,045	393,339
3	759,367	111,373	280,966	393,339
4	647,995	152,581	239,758	393,339
5	495,414	209,035	183,303	393,339
6	286,379	286,379	105,960	393,339
Итого		900,000	1454,032	2354,032

 

 

Общие расходы по погашению кредита составят 2 354,032 тыс. руб.

 

2) В случае погашения кредита уменьшающимися платежами, проценты начисляются на оставшуюся сумму долга, и в результате сумма погасительного платежа будет уменьшаться к концу срока погашения кредита.

В данном примере на остаток долга начисляются проценты исходя из ставки 70,3 % в год. Таким образом, реальная ежемесячная ставка составила 5,858 % (1,703/12).

План погашения кредита (график платежей):

Номер месяца	Остаток основного долга на начало месяца	Процентный платеж	Ежемесячные выплаты основного долга	Величина ежемесячного погасительного платежа
1	60	8,515	5	13,515
2	55	7,805	5	12,805
3	50	7,096	5	12,096
4	45	6,386	5	11,386
5	40	5,677	5	10,677
6	35	4,967	5	9,967
7	30	4,258	5	9,258
8	25	3,548	5	8,548
9	20	2,838	5	7,838
10	15	2,129	5	7,129
11	10	1,419	5	6,419
12	5	0,710	5	5,710
Итого		55,348	60,000	115,348

 

 

 

 

 

Задание №3

Операция совмещения объединяет операцию наращения по схеме простых процентов и конверсию валюты. Последовательность совмещения приведена по схеме: руб→СКВ→СКВ→руб. Начальная сумма 50000 руб., Курс валюты в начале операции 25 руб., в конце – 30 руб., срок проведения операции – полгода, процентная ставка для СКВ – 15%, процентная ставка для рублевой суммы 38%.

Определить 1) коэффициент наращения прямой операции; 2) коэффициент наращения операции совмещения; 3) критическое значение темпа роста курса, при котором эффективность операции совмещения равна 0; 4) паритетное значение темпа роста курса, при котором эффективность операции совмещения равна эффективности прямой операции; 5) наращенную сумму в прямой операции; 6) наращенную сумму в операции совмещения.

Решение:

Рассмотрим случай, когда  N=10

Схема прямой операции , тогда , где

Схема операции совмещения имеет вид: . Операция совмещения выполняется в три этапа:

а) обмен рублей на СКВ по курсу : ;

б) Наращение СКВ по ставке j:

;

в) конвертирование наращенной СКВ в рубли:

 руб.

2) Коэффициент наращения операции совмещения через параметры n, j, k имеет вид: .

3) Доходность за всю операцию определим годовой ставкой простых процентов , она обращается в нуль, если равен нулю числитель, т.е. , следовательно, доходность от операции равна нулю при . Таким образом, значение темпа роста курса . По нему определим критическое значение курса в конце операции, при котором операция совмещения будет иметь нулевую доходность .

4) Паритетное значение темпа роста курса, при котором эффективность от операции совмещения, равна эффективности от прямой операции наращения,  определяется из условия равенства коэффициентов наращения обеих операций, т. е. ,

5) Наращенная сумму в прямой операции определится непосредственно по формуле: рублей,

6) Наращенную сумму в операции совмещения будет такой: рублей.