Эстетическое воспитание учащихся при обучении математике в 5-7 классах

3.Целесообразность, в контексте которой красота  представляет в несколько утилитарном  смысле, однако, это не умаляет  ее значения в процессе раскрытия  эстетического потенциала при  обучении математике, а также  еще раз подчеркивает многозначность  понятия красоты.

Выявленные признаки красоты позваляют более полно охарактеризовать эстетический потенциал при обучении математике. Эстетический потенциал математики как совокупность возможностей ее эстетического воздействия, результатом которого является  возникающее у учащихся эстетическое чувство, в котором учащиеся познают специфически эстетическое качество-красоту,  и раскрывается содержание этого понятия с выявлением в нем двух аспектов, условно названных внешним и внутренним.

Под внешним аспектом следует понимать математический аппарат, являющийся необходимым инструментом познания законов гармони объективного мира. В данном случае речь идет, идет о внешней красоте. Основу этого математического аппарата составляют учения о симметрии и таких ее частных проявления как пропорция(золотое сечение), периодичность и т.д.

Внутренний аспект связан с красотой интеллектуальной, доступной только разуму, содержание которого составляют такие особенности математических объектов( факторов, теорем, задач, способов рассуждения), как упорядоченность, проявляющаяся в соразмерном сочетании аналитических и геометрических факторов, в симметрии формы; возможность установления неожиданных связей: контраст между глубиной, сложностью выводимого факта и простотой используемых средств; достаточно высокая степень общности.

Исходя из содержания эстетического потенциала математики, а также, учитывая психолого-педагогические особенности личности учащихся, выделены четыре этапа реализации эстетического потенциала математики в процессе обучения:

-сенсуальный  этап, связанный с созданием эмоционально-эстетического  фона за счет внешней привлекательности  математического содержания, проявляющейся  в занимательной задачи, в красивом  оформлении чертежей, таблиц и  схем, в неожиданной постановке  вопроса, в способе преподнесения  задачи учителем и организации  деятельности по ее решению, в привлечении в материал урока художественных произведений, исторических сведений, соответствующих изучаемой теме;

-прикладной  этап, на котором раскрывается  полезность математики в других  областях знания как компонент  внешнего аспекта эстетического  потенциала математики;

-процессуальный  этап, нацеленный на реализацию эстетических возможностей самого процесса решения задачи, осуществляемую при рассмотрении различных способов решения задачи одной о той же задачи, оценки их с точки зрения эстетической привлекательности, обусловленной простотой, наглядностью, неожиданностью и другими признаками красоты математического объекта, составляющими  внутренний аспект;

-теоретический  этап, раскрывающий такие компоненты  внутреннего аспекта, как достаточно  высокая степень общности объекта, его «открытость» или способность  к дальнейшему расширению на  основе абстракции и обобщения, логическая обоснованность, четкость  и доказательность при построении  математического объекта.

 

 

4.История математики – благодатный материал 
для развития эстетического вкуса школьников

 

        Как уже выше отмечалось, эстетическое воспитание является существенным компонентом педагогического процесса вообще. На протяжении веков пути математики и различных видов искусства нередко переплетаются. Поэтому исторические сведения предоставляют благодатный материал для развития эстетического вкуса школьников.

На уроках с целью эстетического воспитания мною привлекается различный исторический материал. Сильное впечатление производит на ребят использование оригинальных формулировок задач, теорем, их доказательств, известных из истории.

 При рассмотрении темы "Формулы сокращенного умножения" можно привести примеры доказательств  двух известных алгебраических  формул. Предварительно проводится  беседа, в ходе которой учитель  поясняет, что алгебра сформировалась  намного позже геометрии. Однако  алгебраические формулы фактически  существовали еще тогда, когда  не было самой алгебры. Просто  формулы не символами записывались, а проговаривались словами, и  доказательством служил чертеж. Такая геометрическая алгебра  и сейчас поставляет остроумные  наглядные доказательства. Некоторые  из них даже проще, чем современные  символические обоснования.

Эстетическое воздействие на обучающихся оказывает и привлечение сведений об истории создания некоторых терминов и символов.

 Нередко можно услышать  высказывания о том, что математика  – "сухая наука", а "сами математики  похожи на отлаженные механизмы  с весьма ограниченными интересами". Но с этим можно поспорить, приведя примеры из биографии известных ученых: Омара Хайяма, С. Ковалевской, Карла Вейерштрасса, Н.И. Лобачевского.

Последовательная работа на уроках по использованию исторического материала показывает обучающимся, что ценность науки определяется не только тем, что она помогает создать какие-либо материальные блага, среди которых мы живем. Наука формирует и интеллектуальную атмосферу. Природа совершенна, и у неё есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных видах искусства.

 

5."Красивые" задачи – ключ к пониманию изящества математики

 

О красоте математики написано немало. Многие авторы видят её в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, универсальности математических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различных объектов, начиная от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивой модели, удовлетворяющей требованиям простоты, неожиданности, изоморфизма.

Ученые, исследуя красоту математики, давали различные формулы эстетической привлекательности математического объекта. Например, Г. Биркгоф дал следующую формулу: , где М – мера красоты объекта, О – мера порядка, С – мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта. А у В.Г. Болтянского своя формула "математической эстетики":

 

красота = наглядность + неожиданность =

=изоморфизм +простота + неожиданность

И та, и другая формулы созвучны: в них красота математического объекта обусловлена взаимодействием его обобщенного образа, созданного нашей психикой, и оригинальности, выделяющей этот объект из множества других.

В качестве источников эстетической привлекательности математических объектов (понятий, теорем, задач, доказательств и т.д.) выступают категория порядка, проявляющаяся в гармонии отдельных частей, их симметрии, в логической стройности, и категория простоты, раскрывающаяся в неожиданности, обусловленной контрастом между трудностью проблемы и простотой методов, используемых для её решения.

Эффективное раскрытие эстетического потенциала математики возможно лишь в процессе творческой деятельности обучающихся. А в этой деятельности ведущая роль принадлежит задаче, "красивой" задаче, её изящному решению.

Красивое решение должно нас чем-то удивить, должно быть в чем-то неожиданным. Если мы хотим понять некоторое явление, яснее его представить, то мы прибегаем к наглядной модели изучаемого явления. Наглядная модель должна правильно отражать те основные черты явления, которые следует изучить.

Основным требованием к модели является её простота для восприятия, для оперирования с нею. Благодаря простоте модели, можно легче сделать необходимые выводы. При решении любой непростой задачи обучающиеся составляют для себя наглядную модель описываемого в задаче явления. В этот момент и происходит проявление творческого подхода к решению задачи. Удачный выбор наглядной модели нередко предопределяет успех дела, а необычность этой модели, её неожиданность воспринимаются как красота и изящество решения.

Каждая математическая задача служит конкретным целям обучения, но основная её роль – развитие творческого и математического мышления обучающихся, повышение их интереса к математике. Для того, чтобы обучающиеся осознали эстетику задачи, необходимо знакомить их с различными способами её решения, различными приемами доказательства одной и той же теоремы. Восприятие эстетической стороны задачи начинается с условия и чертежа. Поэтому содержание условия должно вызывать интерес, чертеж должен соответствовать значению слова "красивый", то есть доставляющий наслаждение, приятный внешним видом, гармоничностью, стройностью.

Итак, математическая задача способствует формированию и развитию эстетического вкуса учеников в том случае, если она отвечает определенным требованиям, а именно:

• условие задачи должно быть интересно школьнику, если задача геометрическая, то чертеж должен быть "красивым";

• задача может устанавливать интересный факт, порой неожиданный;

• задача должна обладать большой степенью общности;

• в решение задачи обязательно нужно спрятать "изюминку", чтобы оно было наглядно и удивительно просто;

• желательно, чтобы было несколько способов решения задачи.

Формируя и развивая эстетический вкус обучающихся при решении "красивых" задач, учитель помогает школьникам более полно воспринять красоту математики вообще, старается повысить их математическую и общую культуру.

 

 

 

 

6.Практическое применение:

Задача №1

Рассматриваются 9 точек, расположенных в вершинах квадрата, его центре и серединах сторон. Требуется построить 4-звенную ломанную, проходящую через все эти 9 точек.

 

Решение:

На рис.1 изображены, конечно, не точки, а маленькие круги, но их      соответствует  условию задачи, т.е. рис.1 дает наглядную модель изучаемого явления.

Решить задачу, как правило, не удается .Решающий вычеркивает ломанные                                                                    как на рис.2,но все они состоят из 5 звеньев.

 

 

 

 

 Рис.2

После ряда неудачных попыток один говорит «не знаю», другие-«невозможно». И когда им показывают решение (на рис.3, стрелками показано направление вычеркивания ломанной), они находят его красивым. Поскольку наглядность налицо, изящество решения - в его неожиданности: ломаная пересекает себя и выходит за пределы квадрата, показано на рис.1, тогда как решающий искал ломаную, проходящую в этом квадрате. Выход за пределы квадрата казался решающему совершенно лишним, бессмысленным, а  именно здесь было скрыто решение.             

 

 

 

 

 

Задача№2

 

.Вершины квадрата соединены  с серединами сторон так, как  показано на рис.1.Как соотносятся  площади квадрата и четырехугольника, образованного пересечением полос?

                                                                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

Как правило, это задача вызывает у учащихся живой интерес. С одной стороны, в ней используются привычные фигуры-квадраты, отрезки, треугольники, многоугольники, четырехугольники. А с другой стороны,  их сочетание внутри основного квадрата создает впечатление неожиданности. В квадрате оказался помещенным какой-то недостроенный крест. Это впечатление эстетической незавершенности учитель должен умело использовать, подтолкнув желание учащихся достроить конфигурацию до креста. Для этого придется всего лишь построить четыре равных прямоугольных треугольников (рис.2). Теперь остается только увидеть, что образовавший крест сложен из пяти равных квадратов, общая площадь которых составляет площадь исходного квадрата.

Итак, эстетические мотивы, которые помогли обнаружить способ решения, обусловлены стремлением исправить рисунок, придав ему симметричность. Эстетическое впечатление от задачи  усиливается еще неожиданностью получения числового результата, который, казалось бы, никак не просматривался из условия, ведь оно не содержит в явном виде никаких числовых данных.

 

 

Задача№3

 

Дан прямоугольный треугольник АВС. На гипотенузе АС вне это треугольника построен квадрат АСDЕ с центром О. Доказать, что луч ВО является биссектрисой угла АВС(рис.1)