Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Июня 2012 в 20:06, шпаргалка
Работа содержит 13 ответов на вопросы по дисциплине "Математика"
1. Две точки определяют единственную проходящую через них прямую;
2. Или: Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
3. Аксиома соединения. Существуют, по крайней мере, 4 точки, не лежащие в одной плоскости;
4. Аксиома порядка. Если В лежит между А и С, то А, В и С – это различные точки прямой. И В лежит также между С и А;
5. Аксиома Паша. Прямая, лежащая примерно в той же плоскости, что и тр-к АВС, и пересекающая отрезок АD, пересечет обязательно отрезок ВС или отрезок АС;
6. Аксиома конгруэнтности. На любой прямой и из любой точки можно отложить отрезок, равный данному отрезку;
7. Аксиома параллельности. в Евклидовой геометрии это постулат. А у Гильберта формулируется след. образом : Через данную точку в данной плоскости можно провести одну прямую, не пересекающую данную;
8. Аксиома Архимеда.
9. Аксиома непрерывности. Точки прямой нельзя дополнить новыми точками, которые нельзя считать принадлежащими той же прямой без нарушения других аксиом.
Гильберт проверил полноту системы аксиом, независимость, непротиворечивость.
Гильберт доказал, что если аксиоматически док-ть арифметику, и геометрия Евклида не противоречива, если сущ-вует непротиворечивый метод исчисления для арифметики. В какую бы конечную систему аксиом мы не попадали, она будет не полной. Можно привести примеры истин, которые не могут быть выведенными из системы аксиом.
Наблюдения, получения новых результатов приходят к тому, что появляются возможности показать все новые и новые объекты, которые находят себе применения. Такой всплеск вызванный работой Евклида – дал основу первым шагам. Эта работа четко применялась. Уже в 19в. она привела мат-ку к тому, что метод аксиоматического научного представления – является совершенным методом и наиболее удобным.
Место математики в философской концепции Платона и Аристотеля.
Сам Платон не был математиком. В школе Платона было принято беседовать в виде диалогов, которые были образцом логико-доказательного мышления. В его школе старались придерживаться математических методов, он считал, что это наиболее цельная вещь. Во-вторых, почему Платону нравилась математика, потому что Платон идеалист, эта та же философская структура, что и в конечной дискретной математики. В основу своих философских достижений он пытался вложить математические, т.е. абстрактные принципы. В школе Платона были изучены и открыты 5 правильных многогранников(тетраэдр, куб, октаэдр, декаэдр и икосаэдр). В школе Платона наряду с философией изучалось все, что в то время изучалось в математике.
Аристотель, хотя он в большей степени увлекался проблемами физики, биологии, ботаники – материалист – но от него в математику впервые вошла логика. В школе Аристотеля в его работах впервые математика стала делиться на различные области, более четко. Аристотель предложил способ, с помощью которого обсуждаются объекты, истинность которых нужно определить, - это специальные законы мышления, называемые логикой.
9 вопрос: Александрия как математический центр
3 в. до н.э. - к этому времени многие цивилизации, в которых на высоком уровне была развита мат-ка, оказались в рамках Македонской империи. Александр Македонский распорядился развивать все, что на них существовало в то время.
Плюсы для науки: и в Афинах, и в Спарте, и в том же Египте, и на тер-ри восточных государств, и на побережье малой Азии все продолжало развиваться. Но наиболее сильным эллинистическим государством с сильным математическим уклоном была Александрия. В Александрии был создан Музейон – научно-учебный центр, в котором осн. исследования проводились в области мат-ки. В ней же была создана библиотека – это был центр куда приглашались крупные мат-ки из других мест. И к 3 веку до н.э в этой Алек-рии собрались крупные ученые внесшие в мат-ки огромный вклад – Евклид, Архимед, Ополоний, Эратосфен, позже будут Герон, Диофант. Все перечисленные, кроме Архимеда жили в этом Музейоне, преподавали, а он жил у себя в Сицилии и обменивался только письмами.
Это был громадный центр, который подарил огромный «пик» в области мат-ки, до завоеваний Римской империи. Музейон был до конца Римской Империи, , хотя несколько раз подвергался разрушению. Многие рукописи пострадали. Поэтому восстанавливать греческую математику довольно трудно. Но за счет того, что когда римляне уничтожали Александрию, тогда Византия приняла многих ученых (часть ученых уехала на восток). В частности в нее попали многие документы и научные труды, потом, т.к. Византия сдружилась с Арабским Халифатом, они перешли к арабам, котор. оч. хорошо относились к науке, сами изучали труды, а потом сами получали и оригинальные результаты.
9 вопрос: Арифметика Диофанта
В чем вавилонская традиция? Греческая традиция –геометрическая и доказательная. У Диофанта много алгебры, т.е. алгебраическая традиция.
Диофант (3 в. до н.э.)– это грек, который занимался алгеброй. На геометрическом языке ввел кроме рациональных чисел иррациональные числа (хотя их так и не называл). За счет того, что не смотря на то, что у него были очень строгие доказательства, - там где он обращался к геометрическим рассуждениям, - были отступления от греческой строгости, которые заключались в том, что не разделял приближенные и точные значения величин. Т.е. с приближенными значениями чисел работали так же, с т. зр. абстракции, как и с точными значениями.
Работы Диофанта в основном построены на рецептурном приеме. Это первые важные работы в нарабатывании символики.
Диофант узаконил действие возведения в степень. Ввел их сложение. Хотя отрицательных чисел не было, но на языке долг и прибыль он ввел такие действия – законы, когда при умножении долга на долг или прибыли на прибыль – получается прибыль, а долга на прибыль – долг. Он стал решать задачи, которые решались еще в Др. Греции, но он придумывал оригинальные приемы, для нахождения множества решений для тех уравнений, которые называются Диофантовыми. В основном это ур-ния 1-ой степени с неск. переменными, и ищется решение в области целых и рациональных положительных чисел.
Диофант ввел символику, удобную (появились значки). Диофант стал решать задачи и формулировать задачи с введением параметров. В свои записи он ввел удобные названия переменных и их степеней. Ввел значок похожий на «пси» для обозначения «минуса» - т.е. знак перед долгом, хотя отриц. числа не признавал и с ними не работал, но в записи, вместо слова «долг», он писал этот значок.
Благодаря этой символики, он учил мат-ков возводить в степень (до 6-ой положит-ной и отрицат-ной). Методы, с помощью которых он делал все свои выводы, были геометрические.
10 вопрос: Математика в древних и средневековых Индии и Китае
На смену погибшей Александрии в области математик называют Средневековый Китай, средневек.Индию и с 7-15 век н.э.
Никто не сомневается, что это две древние культуры. Но документов, которые бы подтверждали их высокий уровень не найдено, т.к. писались они на ветхом материале(кора дерева). Кроме того, начинались эти 2 государства с того, что состояли из маленьких городов-государств. Постепенно эти города объединялись. Особенности были: Китай – это догматическое отношение ко всему, с чем связана была человеческая жизни, Индия в меньшей степени. Стиль мат-кий относится к чисто рецептурн. мат-ке. Какие-то времена были для культуры застойными – это связано с тем, что объединялись города-государства и с точки зрения религии. Были случаи в истории Китая, когда пришедший к власти религиозно настроенный император требовал уничтожения всего, что было до этого создано. Эти госуд-ва по своему стилю – закрытые, мало общались с другими гос-вами . Интересные документы – это период средневековья – 3,5 век н.э. Это относят к периоду формирования математики.
В этих странах появляются наработки, в которых нуждалась математика Арабского халифата, которая развивалась на базе греческой, вавилонской математики и т.д.
Китай: в Китае наука была на высоком уровне –об этом говорит Великая Кит.Стена( 3 век до н.э.). Были найдены документы литературного характера, из которых выяснилось, что Стена строилась для того, чтобы не дать племенам уйти из царства.
2 век до н.э. работа «Девять книг об искусстве математики» - энциклопедия с различными достижениями в области математики. Кроме этой книги у китайцев есть маленькие «Девятиглавье» - посвящен определенной области.
Особенность китайской математики в том, что и греческая и арабская математика переписывая разделы математики, когда пополнялись они чем-то новым, и наоборот старались новое что-то заложить, когда старое отвергнуто(доказать новые достижения). А если говорить о китайской математики, то новое пытались так изложить, чтобы оно не противоречило тому, что было создано в этих догматических книгах. Это особенность, кроме рецептурной. Совершенно в китайской математике не присутствует индуктивный подход(до 15 века н.э.). С другой стороны, китайская математика внесла много находок в область приближенных вычислений. Кроме того, китайцы владели свободно понятиями отрицательного числа! Методика, которой решались задачи, была методикой, которая требовала равноправного присутствия как положительных так и отрицательных чисел – эта методика решения систем с помощью матриц. Матричные методы решения заключаются в том, что какие-то действия делают с уравнениями. А китайцы в матрице производили эти действия. Китайцы решали системы уравнений приведением матрицы к треугольному виду(позже метод Гауса). Китайцам принадлежит хорошо развитая астрономия, тригонометрия развита на высоком уровне. Китайцы были любителями находить различные суммы натуральных чисел в различных степенях(сумма квадратов натуральных чисел, сумма кубов и т.д.).
Средневековая Индийская математика в меньшей степени догматичная, но тоже рецептурная. Характерно полное отсутствие индуктивного построения. Подарила миру: десятичное изображение чисел. Эти числа называют арабскими, так как некоторые западные территории Индии были под властью Арабского Халифата. Период Арабского Халифата характеризуется тем, что ученые Арабского Халифата общались с Китаем и Индией. Через Арабский Халифат попали в Европу понятия отрицательного числа и нуля.
Полную методику с удобной символикой не только записи, но и вычисления в десятеричной системе счисления предложили математики Зап.Европы – период 15,16 век н.э. – Стивин – научился десятичные дроби складывать, умножать – как это мы сегодня делаем.
Из Индии пришел 0 ! Характерным для индийской математики является тесная связь математики с астрономией. 3 крупных ученых:
1) 5 век н.э. Ариобхата 1-й – астроном, написал много книг по астрономии с применением приближенной арифметики – такая вычислительная математика.
2) Брахмагубта – 7 век н.э. – занимался решением диофантовых уравнений, но не знал, что они диофантовы.
3) Бхасхара 3-й- 11-12 век н.э. - написал несколько комментариев и несколько работ вслед работами началами Евклида.
Характерным для этого периода в Индии является следующее: много работ зарифмованы, т.е. в виде стихов написаны.
В Индии на алгебраическом, а не на геометрическом языке выписаны формулы различных сумм натуральных чисел: квадратов, кубов натуральных чисел. Развита астрономия на высоком уровне, появилась тригонометрия тоже.
11 вопрос: Средневековая математика арабского Востока
На смену Римской империи в 7 в. н.э. на большую часть ее территории пришли новые народы – арабы. Вначале они переводили, изучали, появлялись комментарии, потом стали получать оригинальные результаты. В рамках А.Х. можно назвать такие имена, как:
Аль Хорезми – алгоритмы. Ставил вопрос о том, нельзя ли также как с уравнениями 2-й степени, поступить с уравнениями 3-й степени, т.е. описать какие-то формулы. Но ему не удавалось;
Омар Хайям –является первым (12 в.), кто по поводу 5-го постулата Евклида (можно ли это доказать, или это не доказывается) вопрос поставил так: а может надо по-другому решать. Пусть будет две геометрии, пусть имеет место и сам постулат, и его противоположность. Решал уравнения 3-й степени с помощью конических сечений;
Ал Каши – результаты, связанные с приближенным решением уравнений 3,4-й степени быстрыми итерационными методами.
Арабы перевели много работ по математике, но в арабском языке много синонимов, поэтому не всегда понимали правильный смысл терминов. Большая польза арабск. цивилизации, в том, что сохранилось много переводов, и на их базе занимались люди. Характерным для арабов является именно алгебраический уклон, хотя были и арабы геометры (Омар Хайям с помощью кривых 2-го порядка решал уравнения 3-ей степени). Сами арабы предлагали тоже оч. много оригинальных идей.
Аль Хорезми классифицировал и изучил методы решения многих уравнений 2-го порядка. Коэффициенты были только положительными. Его работы назывались арифметика (или алгебра). У его арифметики были две операций – одна Алджебр – когда из одной части переносили в другую, и вторая – Алма Хабау. От первой произошло название «алгебра».
Большой вклад был внесен в приближенные методы решения уравнений. В ар. Халифате кроме чисто теоретических допускаются еще и прикладные языки. В частности задачи из оптики сводятся к ур-ниям 3-ей степени, в задачах из теории света часто появляются 4-ой. Применялись итерационные методы для решения этих уравнений, наиболее крупные достижения, в которых дал Ал Каши, который занимался еще и символикой. Арабы внесли в алгебраическую символику большой вклад.
После Ар. Халифата – Западная Европа. Когда Рим.Им. прекратила свое существование, представители Рим. Им – итальянцы, прежде всего, интересовались тем, что происходит в Ар. Халифате и, поэтому, привозили оттуда результаты. Западная Европа познакомилась с греческой мат-кой, достижениями крупных ученых через арабов.