Шпаргалка по "Финансовой математике"

1.Какие задачи  ставит и решает финансовая  математика?

Методы количественного  финансового анализа, проверенные  на практике, составляют предмет финансовой математики.

Количественный финансовый анализ применятся как в условиях определенности (детерминированные  методы финансовой математики), так  и в условиях неопределенности, когда  приходится учитывать динамику денежного  рынка, поведение контрагента и  другие факторы.

Основные задачи финансовой математики:

• измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон,
• разработка планов выполнения финансовых операций, в т.ч. планов погашения задолженности
• измерение зависимости конечных результатов операции от основных параметров
• определение допустимых критических значений этих параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции
• оптимизация портфеля активов, в т.ч. оптимизация по какому-либо критерию портфеля задолженности.

 

2. Принцип неравноценности денег - деньги, относящиеся к разным моментам времени имеют различную текущую стоимость.

 

3.Во всех финансовых расчетах необходимо учитывать особый фактор – время. Суммы денег обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени, для чего в соглашениях фиксируются сроки, даты, периодичность выплат. Необходимость учета времени выражается в принципе изменения ценности денег, относящихся к разным моментам времени. Это связанно с тем, что имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доходы в будущем.

 

4. Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называется наращением суммы. Возможно определение процентов при движении во времени в обратном направлении – от будущего к настоящему. Тогда сумма денег уменьшается на величину соответствующей скидки (дисконта). Этот способ называется дисконтированием.

Приведением датированной суммы денег к определённому моменту времени называется вычисление её стоимости в этот момент времени с использованием некоторой сложной процентной ставки.

5. Формула S = P (1 + ni)  носит название формулы простых процентов. Величина (1 + ni) носит название множителя наращения Если срок финансовой сделки не равен целому числу лет (меньше одного года), то периоды начисления процентов находят как отношение числа дней функционирования сделки к числу дней в году:

                

n –  срок ссуды,

t – число дней функционирования сделки,

k – временная база (число дней в году).

Тогда формула наращения  примет вид:

S = P (1 + i)

 простых процентов.

Сущность метода начисления по простым процентам сводится к тому, что проценты начисляются в течении всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит.

На практике применяются три варианта расчета  простых процентов:

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Применяется в Великобритании, США. В коммерческих документах обозначается 365/365 или АСТ/АСТ.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Распространен во Франции, Бельгии, Швейцарии, Испании. Обозначается как 365/360 или АСТ/360
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Используется, когда не требуется большой точности, при промежуточных расчетах. Этот метод принят в Германии, Швеции, Дании.

 

6. Дисконтирование по простым процентным ставкам

Часто требуется по заданной сумме S, которую следует уплатить через время n, определить величину полученной ссуды P. Или требуется проценты с суммы S удержать вперед, непосредственно при выдаче кредита. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается. Сам процесс начисления процентов и их удержание носит название – учет, а удержанные проценты – дисконт или скидка.

Дисконтирование – средство определение любой стоимостной  величины, относящейся к будущему на более ранний момент времени. Более  общим понятием является приведение стоимостного показателя к некоторому моменту времени.

Если сумма приводится на более ранний момент, чем текущий, то применяется дисконтирование, если к более поздней дате – это  наращение.

Величина P, найденная с  помощью дисконтирования, называется современной стоимостью.

В зависимости от вида процентной ставки применяются два метода дисконтирования  – математическое дисконтирование  и банковский (коммерческий) учет. В  первом случае применяется ставка наращения, во втором – учетная ставка.

 

7. Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня инфляции. Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

= i — %ΔP

 — реальная процентная  ставка;

 — номинальная процентная  ставка;

 — общий уровень  цен.

Если, например, банк предоставляет  кредит и взимает при этом 15%, а  уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

 

8. Номинальная и эффективная ставки процентов. Номи¬нальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j,  a число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капитализируются, т.е. добавляются к сумме с начислен¬ными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j  называется номинальной. Начис¬ление процентов по номинальной ставке проводится по формуле

                 S = P (l + j/m)N,                                  (2.13)

где N— число периодов начисления (N=mn, может быть и дробным числом).

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m – разовое наращение в год по ставке j/m.

Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой  j/m, то, по определению, можно записать следующее ра¬венство для соответствующих множителей наращения:

                                        

где iэф — эффективная ставка; j— номинальная ставка

 

9. Номинальная и эффективная  учетные ставки

В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/тчасти года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке т раз в году описывается формулой

,

где N - общее число периодов дисконтирования (N = mn).

Дисконтирование не один, a m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году т раз.

В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей:    из которого следует, что

Отметим, что эффективная  учетная ставка всегда меньше номинальной.

 

10.

 

11. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

S=P(1+i₁)ⁿ¹(1+i₂)ⁿ²…(1+i_k)^nk                                                        (2.2)

где i₁, i₂,…, i_k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды п₁, п₂,..., n_k соответственно.

 

12. Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от нихсложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i).

P, P * (1 + i), P * (1 + i)², P * (1 + i)³ , …, P * (1 + i)ⁿ,

где число лет ссуды  n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращенная стоимость (последний  член прогрессии) находится по формуле:

 (10),

где (1 + i) ⁿ – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

 

13. 14. 2.4. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения

Следствием инфляции является падение покупательной способности  денег, которое за период n характеризуется индексом Jn. Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен J_p, т.е.

                                                       (2.40)

Напомним, что индекс цен показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый промежуток времени.

2.4.1. Наращение по простым процентам. Если наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен J_p, то реально сращенная сумма денег с учетом их покупательной способности равна

                                                              (2.41)

Пусть ожидаемый средний  годовой темп инфляции (характеризующий  прирост цен за год) равен h. Тогда годовой индекс цен cоставит (1 + h).

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное, наращение при темпе инфляции h составит

                                                                                                        (2.42)

Тогда в общем случае

                                                                                                    (2.43)

и, в частности, при неизменном h

                                                                                                          (2.44)

Процентная ставка, которая  при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна

                                                                                                   (2.45)

Один из способов компенсации  обесценивания денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой и мы будем обозначать ее символом r. Брутто-ставка определяется с учетом равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

                                                                                                      (2.46)

Откуда                                                                                                                        

                                                                                        (2.47) 

2.4.2. Наращение по сложным процентам. Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит

                                                                                                (2.48)

где индекс цен определяется выражением (2.43) или (2.44) в; зависимости  от непостоянства или постоянства  темпа инфляции.

Применяются два способа компенсации потерь от снижения; покупательной способности денег при начислении сложных процентов.

1. Корректировка ставки  процентов, по которой производится  наращение, на величину инфляционной премии. Считая, что годовой темп инфляции равен h, можем написать равенство соответствующих множителей наращения с учетом брутто-ставки r:

                                                                                               (2.49)

где i – реальная ставка

отсюда                                                                      

                                                                                                    (2.50)

т.е. инфляционная премия равна h + ih.

2. Индексация первоначальной  суммы Р. В этом случае сумма Р корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса J_p.