Шпаргалка по "Математике"

Галилей – метод неделимых (связан с геометрией).

Кеплер вынужден был заниматься построение касательных и  вычислением площадей(вычисление интегралов), оформляя свои законы. Переход к пределу в этом случае подразумевал работу с потенциальной бесконечностью.

Декарт и Ферма связаны в основном с диф-ным исчислением. А работы Кеплера, Галилей, Робервиля, Кавальери –задачи, связанные с геометрией.

Паскаль - французский математик, физик. Один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Было много работ ученых, которые вложили вклад в необх-ть собрать вместе эти работы, осмыслить методику этих работ и попытаться создать единую теорию, подход  к изучению этих процессов. Решались разные задачи, которые сводились либо к нахождению интеграла или к нахождению касательной (производной).

Период 17-18 вв. – с т. зр. мат-ки – это появление в мат-ке переменных величин – понятие функций, и связанные с ними понятия интегрирования и дифференцирования. Включая конец 17в (работы ньютона и лейбница) – 18 в.в это время мат. анализ назывался не диф.интегр. исчисление, а - теория бесконечно малых.

Эти работы – предтече создания самого математического анализа(дифф.-интеграл. исчесления). Работы этих ученых были осмысленны крупными учеными – Ньютон и Лейбниц.

Ньютон и Лейбниц, когда говорим о том, что они были создателями интегрального дифференц. исчисления,  - они осмыслили все, что было сделано до них. В этот период появилась возможность получить и опубликовать результаты, которые не полностью были обоснованы – стояли на доказательной основе. Это результаты, котор. основаны на правильном понимании окр. мира и его закона. Появилась большая роль эксперимента, - то от чего отказывалась даже греческая мат-ка. В этот период нужно было отойти от многих требований строгой доказательности – что привело, к тому, что появились новые подходы и понятия мат-ки.

Ньютон и Лейбниц, у обоих появились работы, подводящие итог теоретич. рассуждений предыдущих мат-ков и у обоих есть наработки как в области дифференциального исчисления, так и в обл. интегрального исчисления.

Лейбниц не имел математического образования. Он увидел наработки Ньютона, и ему стали инетресны эти наработки. Также к нему попали работы Паскаля.

В чем разница подходов этих ученых?

Ньютон шел в диф.исчисления из физики – из законов движения (интерпретация производной – это скорость). Функция у него - это какой-то путь движущегося объекта, а производная – скорость. Кроме того, у него есть еще и вторая производная – ускорения, связанное с законами Ньютона.

Лейбниц шел из геометрии, он строил касательные. Он продолжил традицию Европ. мат-ков, создавать удобную символику (сегодня это символика Лейбница – символика дифференц. интегральн. исчисления). 

Что касается интегрального исчисления: Ньютон шел от неопределенного интеграла к определенному. А Ньютон искал по производной первообразную – так он получал опред. интегра, а неопред. получал, когда смотрел площадь, переменная, котор. ограничена некотор. прямой – получалась первообразная.  А Лейбниц в интеграле шел от определенного. У него неопред. интеграл – это опред. интеграл с переменным верхним/нижним пределом.

Первые работы, вышедшие в свет – в естественно научных журналах, - опубликовал именно Лейбниц, хотя Ньютон и сделал эти открытия раньше.

Лейбниц занимался методом неделимых, вслед за Архимедом, что еще от Евдокса идет эта идея – вычисление площадей.

Появлялись новые работы, что приближали мат. анализ к прочным основаниям. Хотя база, с помощью которой, получилось обоснование всего это раздела, появилась в конце 18 – начале 19 вв. И она была создана за счет того, что были обосновано понятие предела и обосновано и введено понятие вещественного числа.

15 вопрос: Математика 18 века

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период  математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.).

Это период математики переменных величин (17-18в.). Внесли больший вклад в это время: Англия и Германия (период создания мат.анализа, теории бесконечно малых), Франция, Италия. Это вызвано тем, что развитие общества – другие обл. знаний: физика, механика, биология, астрономия - пришли к необходимости решать задачи, связанные с движением. Появление таких задач, они вызвали в жизни необходимость ввести переменные величины, а раз они есть – есть понятие функции. А с этим понятием, связанны какие-то свойства, законы.

18 век характеризуется, во-первых, математика питается от задач, которые идут из приложений. С другой стороны, в 18 веке считается характерной такая струя в математике – создание новых разделов, которые развивают сам предмет, т.е. математика в математике, не только для приложений, а для нужд самой математики. Логика рассуждения, логика метода приводит к тому, что появляются разные обобщения.

18 век – это Эйлер, Лагранж, Лежандр, Лаплас. Это тесная связь математики с механикой, физикой. Сила набирает теория функций комплексного переменного. Самостоятельной и сильной становится область в математике, которую мы называем теорией вероятностей и мат.статистики. Все эти молодые отрасли в математике в 18 веке начинают силу набирать.

Это век, который сделал большой задел для того, чтобы было чем заниматься в 19-м веке. В 19 век пришли с большой культурой, которая позволила получить открытия –неевклидова геометрия, теория чисел, теорема Ферма, теория групп.

К. 18-н.19 века – Эйлер доказал иррациональность числа е, а Лабмерд числа пи. А то, что они не алгебраические, а трансцидентные- это было сделано в 19 веке.

Эйлер, Даламбер – это те, кто подвигли обоснование мат.анализа через теорию бесконечно малых.

18 век для мат.анализа нужно было создать хорошую основу, теорию пределов.

В работах Эйлера появление бесконечно малых. Ролль, Лопиталь, Эйлер, Бернулли – это первые учебники были по математической науке. 2 Бернулли – это вариационные исчисления, теория вероятности.

Уже в начале 19 века были получены результаты, связанные с теорией групп.

В математике есть много таких проблем. Которые начинаются где-то далеко, потом внутри варимся в соку, потом появляются уже результаты. К такой проблеме, которая привлекала всегда математиков, относится проблема разрешимости в радикалах полиномиальных уравнений произвольной степени. Эта задача о разрешимости уравнения 5-й степени –ею занимались, начиная с появления формул решения уравнения 4-й степени – поэтому эта проблема, такая же как и проблема о пятом постулате, как проблема о древних задачах Греции.

Окончательно эта проблема была разрешена прежде всего в работах Абеля и Галуа.

Галуа – создатель групп.

18 век дал толчок тому, что появились такие результаты. И в завершении этой проблемы – это абелевское доказательство о том, что не всякое уравнение 5-й степени разрешимо в радикалах(т.е.в алгебраическом виде). Он пытался пойти через интегральное исчисление, через  эллиптические интегралы.

18 век –Тейлор. Наконец-то появилось несколько совершенно обоснованных определений понятия функции. Так как решение задач мат.анализа связано с решением дифф.уравнений, в основном решались методом степенных рядов. Т.е. функции, которыми оперировали математики 18, 19 века – ими оперировали т.о.: их сначала представляли в виде рядов, в связи с этим работы Тейлора, а потом с этими рядами работали. Такой симбиоз между алгеброй и непрерывной математикой(мат-кой бесконечно-малых).

Абель – первый высказал идею, что нужно не искать решение уравнения 5-й степени. Привел пример уравнений, для которых невозможно разрешения в алгебраическом виде. На пути к решению этой задачи он изучил новый тип функций – это алгебраические функции, алгебраические интегралы которых не берутся в элементарных функциях.

Галоа  - в работе рассматривает новый подход в области циклических групп.

На пути решения этих проблем развивалась теория групп. Были открыты различные другие числа. Математическая теория - алгебраическая геометрия.

Современная алгебра вышла из этих задач.

16 вопрос: История математики в России

История российского государства начинается с 9 века н.э., хотя до этого все было. Начало математики напоминает то, что было в начале математики в Западной Европе:     Арабский Халифат набрал большой материал, к 12 веку Западная Европа становится совсем самостоятельной. Испания, Италия, Франция, Германия, Англия, 10 – 12 века: представителями Западной Европы (наука была, в основном, в монастырях) были Фибоначчи, Герберт, они привезли книги, документы из Арабского Халифата, в Западной Европе началось изучение этой литературы и получение оригинальных результатов. Получение результатов несколько затянулось. 15 век – период итальянского возрождения, накопление знаний на базе того, что было наработано еще до Арабского Халифата (в Древней Греции).

Ближайшим соседом Западной Европы были славянские государства, т.е. наша Русь. Культура государства, которая граничила с зап.Европ. гос-вами была похода ну ту культуру, которая там была. На территории русских княжеств: должна была быть какая-то цифирь (в основном, буквенная), были школы, в которых изучался счет. Математика выполняла роль помощницы во всех церковных делах. Иррациональные числа рассматривались в приближенном значении, но работали с ними как с точными числами.

Получены интересные методы в областях арифметики и логистики для правильного подсчета церковных календарей, церковных праздников. В период строительства церковных учреждений математика тоже помогала. Крещение Руси – это сближение Руси с Константинополем, Россия стала получать результаты, связанные с греческой математики, и результаты из Византии.

Татаро-монгольское иго надолго затормозило развитие культуры, это сильно остановило развитие математики. Почти вся литература была сожжена. Одни из сохранившихся документов – это математические рукописи 17 века: «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки». Были найдены рукописи 15 и 16 веков. В этом Уставе очень много места отведено математическим задачам.

Математика носила прикладной, счетный характер, она обслуживала то, что нужно было для какой-то деятельности. Торговля быстро стала развиваться, когда ушли от ига, необходимость в процентном счете и т.д.

До татаро-монгольского ига были светские и приходские школы, но все разрушилось. Нужны были школы. В Москве были созданы самые главные школа - славяно-греко-латинская академия(17 век).

До этого времени  по указу Петра все должны были открыть приходские школы, все купцы должны были посылать своих детей учиться туда. Торговцы отказывались посылать детей, т.к. некому было вести хозяйство. Первые школы назывались навигационные(связано с «окном в Европу»). Младшие школы назывались цифровыми. В школах был арифметический класс. Школы носили светский характер. Ученики были разного возраста, разного уровня подготовки.

В школах были учебники. Учебник «Арифметика» написан очень грамотно, там были задачи, развивающие ум, были хорошие иллюстрации. Был отдельный учебник по геометрии. Первая книга Магницкого – цифирь, различный счет.

Конец 17 века – начало 18 века – это период создания интегрально-дифференциального исчисления. Это Лейбниц и другие крупные ученые, на которые Петр 1 не мог не обратить внимания. В 18 веке Лейбниц помог Петру 1 создать первую академию.

Основание Академии наук. Петр понимал, что в России нет такого уровня ученых, которые могли бы способствовать хорошему действию академии, поэтому было предложено приглашать иностранных ученых. Среди таких ученых был Леонард Эйлер, немецкий математик Вольф. Приехали два Бернулли. Эйлер –сделал удобную карту для России. Эйлер, Лагранж, Лейбниц внесли большой вклад в российскую математику(от Эйлера идет основа в теории чисел. Его работы способствовали наряду с аналитической геометрии элементы диф.геометрии). При Петербургской Академии был создан Пет.университет (1725 год), но не было учеников. В 1755 году появился Московский государственный университет. При МГУ были две гимназии. После этого создавались еще университеты. Выходцем Казанского университета был Лобачевский (1792 – 1856), Харьковского университета – Остроградский.

Наша современная математика начинается от работ Лобачевского. Крупнейшее достижение 18 – 19 веков – неевклидова геометрия.

Остроградский (1801 – 1861).  Достижения: теория колебаний, уравнения в частных производных, один из зачинателей вариационного исчисления.

Чебышев (1824 – 1894). Его ученики: Ляпунов, Золотарев, Куркин. С ним связана теория приближений, которая сейчас очень активно используется. Теория приближений связана с раскроем материала(оптимальный раскрой, чтобы создать различные фигуры).

Из современников наших – Колмогоров.

18 век – на базе мат.анализа появл.вариац.исчисления, самостоятельно появляется теория вер-тей.

20 век – время фун.анализа.