Математические методы в экономике

 

 

Задача 5.3. Найти кривую безразличия функции полезности 
. Для заданных значений оптимальных благ потребителя х = 36, y= 49 рассчитать предельную норму замены блага х на благо у.

Решение.

Найдем предельные полезности по х и по у:

Тогда кривые безразличия для данной функции полезности определяются уравнением

Рассчитаем предельную норму замены блага х на благо у:

 
Раздел 6. Транспортная задача

 

Транспортная задача  – это задача линейного программирования, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи (ТЗ) является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукцииодного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ

1. n – количество пунктов отправления, m – количество пунктов назначения.

2.  – запас продукции в пункте отправления ( ) [ед. прод.].

3.  – спрос на продукцию в пункте назначения ( ) [ед. прод.].

4.  – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления в пункт назначения [руб./ед. прод.].

Искомые параметры модели ТЗ

1.  – количество продукции, перевозимой из пункта отправления в пункт назначения [ед. прод.].

2.  – транспортные расходы на перевозку всей продукции [руб.].

Этапы построения модели

1. Определение переменных.

2. Проверка сбалансированности задачи.

3. Построение сбалансированной транспортной матрицы.

4. Задание целевой функции (ЦФ).

5. Задание ограничений.

Транспортная модель

;

(6.1)

 

ЦФ представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Общий вид транспортной матрицы

Пункты отправления,	Пункты потребления,				Запасы, ед. прод.
			…
	, [руб./ед. прод.]		…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
Потребность ед. прод.			…

 

Из модели (6.1) следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, т.е.

.

(6.2)

 

Если (6.2) выполняется, то ТЗ называется закрытой, в противном случае – открытой. В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный (реально не существующий) пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, т.е.

.

Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:

.

Для фиктивных перевозок вводятся фиктивные тарифы , величина которых обычно приравнивается к нулю . Но в некоторых ситуациях величину фиктивного тарифа можно интерпретировать как штраф, которым облагается каждая единица недопоставленной продукции. В этом случае величина может быть любым положительным числом.

 

Задача 6. Составить два варианта (открытый и закрытый) плана распределения однородных грузов на пунктах производства и потребления, если известны некоторые объемы производства ai = (a1; 80; 190) и объемы потребления bj = (b1; 40; b3).

 

Решение.

Транспортная задача закрытого типа

Пункты производства,	Пункты потребления,			Объемы производства, ед. прод.
	0,12	0,28	0,42	100
	0,17	0,3	0,16	80
	0,32	0,15	0,26	190
Объемы потребления, ед. прод.	200	40	130	370= 370

 

 

Транспортная задача открытого типа

Пункты производства,	Пункты потребления,			Объемы производства, ед. прод.
	0,12	0,28	0,42	100
	0,17	0,3	0,16	80
	0,32	0,15	0,26	190
Объемы потребления, ед. прод.	200	40	150	390 > 370

 

 

 

 

 

Литература

 

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: «Дело и сервис», 2004 – 366 с.
2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 376 с.