Математические методы в экономике

События называются равновозможными, если нет никаких оснований предполагать, что одно из них более возможно, чем другое.

Противоположным событию А называется событие , состоящее в непоявлении А.

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие А·В, состоящее в наступлении каждого из этих событий.

Классическое определение вероятности

Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом.

Элементарные исходы, в которых интересующее событие наступает, называются исходами, благоприятствующими этому событию.

Вероятностью событияА называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех исходов данного испытания: .

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность случайного события заключена между 0 и 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей: 

Вероятность противоположного к А события равна единице минус вероятность события А: 

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие А. Вероятность события А постоянна и равна p, а вероятность несвершения события А: p = q. Тогда - вероятность наступления событияА в n испытаниях ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Задача 3.1. Банк имеет N= 6 отделений. С вероятностью Р= 0,15 независимо от других каждое отделение может заказать на завтра крупную сумму денег. Какова вероятность того, что будет    а) ровно две заявки; б) хотя бы одна.

Решение

а) Здесь n=6, k=2, p=0,15, q=1-0,15=0,85

По формуле Бернулли имеем

б) Событие  А - «поступила хотя бы одна заявка» противоположно событию «нет заявок», поэтому искомая вероятность

Ответ:   а) 0,176;               б) 0,623

Случайные величины и их характеристики.

Переменная величина, значения которой определяются исходом некоторого опыта, называется случайной величиной.

Различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой заполняют весь промежуток, в котором она рассматривается.

Дискретной (прерывной) величиной Х называется случайная величина, которая принимает отдельные изолированные значения    с соответствующими им вероятностями     . Это соотношение, называемое законом распределения случайной величины, может быть задано в виде таблицы, графика, формулы.

Числовые характеристики

Математическое ожидание характеризует центр распределения случайной величины и считается по формуле

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение – параметры, определяющие рассеяние случайной величины относительно :

;

.

 

Задача 3.2.  За каждый  процент перевыполнения плана полагается премия 50 рублей, а за каждый процент недовыполнения заработок уменьшается на 30 рублей, но не более чем на 100 рублей. Найти ожидаемый размер премии, если прогноз выполнения плана:

96	97	98	99	100	101	102	103	104	110
0,01	0,07	0,14	0,12	0,16	0,14	0,17	0,10	0,05	0,04

 

Решение

Размер премии  y есть функция от % выполнения плана.

Рассчитаем размер премии для каждого случая и составим закон распределения функции премии y

yi	-100	-90	-60	-30	0	50	100	150	200	500
pi	0,01	0,07	0,14	0,12	0,16	0,14	0,17	0,10	0,05	0,04

 

 

Размер ожидаемой премии есть математическое ожидание функции y:

Ответ:  ожидаемая премия  49,7 руб.

 

 

Раздел 4. Модель межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс в экономике - это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей, производящих определенные товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определенные ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Полагаем, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление).

Введем следующие обозначения:

хi -  общий объем продукции i-й отрасли (ее валовый выпуск), i=1,2,...,n;

хij–объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции хj;

yi–объем продукции i-ой отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.

- коэффициенты прямых затрат (для производства продукции j-й отрасли объемом хj  нужно использовать продукцию i-йотрасли объемом aijxj)

Балансовый принцип вязи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-ой отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах.

В принятых обозначениях балансовые соотношения имеют вид:

   (4.1)

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

(4.2)

Тогда система уравнений (4.1) в матричной форме имеет вид

Это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления  .

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времениТ известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (4.3) с известной матрицей А и заданным вектором .

Между тем система (4.3) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладного характера данной задачи; прежде всего – все элементы матрицы А и векторов   и должны быть неотрицательными.

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (4.3) – вектор ,все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Перепишем систему (4.3) с использованием единичной матрицы Е в виде

Если существует обратная матрица (Е – А)-1, то существует и единственное решение уравнения (4.3)

Матрица (Е – А)-1 называется матрицей полных затрат.

 

Задача 4. Установить вид модели межотраслевого баланса продукции выпускаемой в объемах х1, х2, х3 с заданной матрицей коэффициентов прямых затрат и конечным продуктом, заданным вектором . По виду матрицы А составить матрицу полных затрат В.

Решение.

Пусть – объем выпускаемой продукции, тогда

X = AX + C – уравнение межотраслевого баланса, соответствующее модели Леонтьева.

 

Коэффициенты полных затрат найдем с помощью матрицы , где Е – единичная матрица, А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Определитель равен

тогда матрица полных затрат равна

, где  - матрица, обратная матрице .

Найдем .

Алгебраические дополнения:

Следовательно,  матрица полных затрат

 

 

 

Объем валовой продукции отраслей найдем по формуле X= ВС:

 

 

 

 

 

 

Раздел 5. Производственные функции

Производственная функция отражает функциональную связь между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным капиталом) и с их помощью достигаемым выпуском при существующем техническом и организационном знании.

Производственная функция имеет в общем следующее выражение:

где:

K – число производственного капитала

L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к увеличению выпуска – первая производная положительна. Однако предельная производительность возрастающего фактора уменьшается с увеличением величины данного фактора – вторая производная отрицательна.

В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:

Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как

,

и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска наb процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.

В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства a и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):

.

Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли  выражается через dy/dK:

,

и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a.

 

Задача 5.1. Для заданной мультипликативной производственной функции Y = 32∙L0,5∙K0,5, K = 25, L = 100, найти предельный продукт труда, предельный продукт капитала, коэффициенты эластичности по труду и капиталу.

 

Решение.

Коэффициент эластичности по труду a = 0,5.

Коэффициент эластичности по капиталу b  = 0,5.

Предельный продукт труда

Предельный продукт капитала

 

Спрос – платежеспособная потребность покупателей в данном товаре при данной цене. Спрос характеризуется ценой спроса – количеством товара, которое покупатели готовы приобрести по данной цене.

Предложение – способность и желание продавцов предложить определенное количество товара по данной цене. Характеризуется, в первую очередь, величиной предложения.

Точка равновесия – точка пересечения кривой спроса и кривой предложения на графике спроса и предложения. Точка пересечения соответствует состоянию равновесия, ее координаты – равновесной цене, равновесному количеству.

Равновесная цена – цена, для которой величина спроса и величина предложения равны.

Задача 5.2. Для заданных функций спроса  и предложения  определить равновесную цену p спроса-предложения на товар.

Решение.

Равновесная цена находится из условия g=s, тогда , откуда p=1, т.е. равновесная цена 1ден.ед.

График изображен на рис. 5.1.

 

Функция полезности U (x, y) выражает меру полезности (для потребителя) набора (x, y), где х – количество товара Х, а y – количество товара Y.

Чувствительность набора (х, у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью х и определяется как частная производная . Аналогично предельная полезность у определяется как

Кривые безразличия задаются уравнениями U(x, y) = C, где C - любая const. Таким образом, кривая безразличия математически представляется как линия уровня функции полезности, т.е. . Для любой функции полезности существует бесконечное множество кривых безразличия (для разных const).

Предельная норма замещения х на у в точке А(х0, у0) равна отношению их предельных полезностей: