События называются равновозможными,
если нет никаких оснований предполагать,
что одно из них более возможно, чем другое.
Противоположным событию А называется
событие
, состоящее в непоявлении А.
Суммой двух событий А и В называется
событие А+В, состоящее в наступлении хотя
бы одного из этих событий.
Произведением двух событий
А и В называется событие А·В, состоящее
в наступлении каждого из этих событий.
Классическое
определение вероятности
Каждый из возможных результатов
испытания называется элементарным исходом.
Элементарные исходы, в которых
интересующее событие наступает, называются
исходами, благоприятствующими этому
событию.
Вероятностью событияА называется
отношение числа благоприятствующих этому
событию исходов к общему числу всех исходов
данного испытания:
.
Из определения вероятности
вытекают следующие ее свойства.
Вероятность случайного события
заключена между 0 и 1.
Вероятность достоверного события
равна единице.
Вероятность невозможного события
равна нулю.
Вероятность суммы двух несовместных
событий равна сумме их вероятностей:
Вероятность противоположного
к А события равна единице минус вероятность
события А:
Формула
Бернулли
Пусть производится n независимых
испытаний, в результате каждого из которых
может наступить или не наступить некоторое
событие А. Вероятность
события А постоянна
и равна p, а вероятность
несвершения события А:
p = q. Тогда
- вероятность наступления событияА в n испытаниях
ровно k раз, вычисляется
по формуле Бернулли:
Задача 3.1. Банк имеет N= 6 отделений.
С вероятностью Р= 0,15 независимо
от других каждое отделение может заказать
на завтра крупную сумму денег. Какова
вероятность того, что будет
а) ровно две заявки; б) хотя бы одна.
Решение
а) Здесь n=6, k=2, p=0,15, q=1-0,15=0,85
По формуле Бернулли имеем
б) Событие А - «поступила
хотя бы одна заявка» противоположно событию
«нет заявок», поэтому искомая вероятность
Ответ: а) 0,176;
б) 0,623
Случайные
величины и их характеристики.
Переменная величина, значения
которой определяются исходом некоторого
опыта, называется случайной величиной.
Различают два типа случайных
величин: дискретные и непрерывные.
Непрерывной называется случайная
величина, возможные значения которой
заполняют весь промежуток, в котором
она рассматривается.
Дискретной
(прерывной) величиной Х называется случайная величина,
которая принимает отдельные изолированные
значения
с соответствующими им вероятностями
. Это соотношение, называемое законом
распределения случайной величины, может
быть задано в виде таблицы, графика, формулы.
Числовые характеристики
Математическое ожидание
характеризует центр распределения
случайной величины и считается по формуле
.
Дисперсия
и среднее квадратическое отклонение
– параметры, определяющие рассеяние
случайной величины относительно
:
;
.
Задача 3.2. За каждый процент перевыполнения
плана полагается премия 50 рублей, а за
каждый процент недовыполнения заработок
уменьшается на 30 рублей, но не более чем
на 100 рублей. Найти ожидаемый размер премии,
если прогноз выполнения плана:
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
110 |
0,01 |
0,07 |
0,14 |
0,12 |
0,16 |
0,14 |
0,17 |
0,10 |
0,05 |
0,04 |
Решение
Размер премии y есть функция
от % выполнения плана.
Рассчитаем размер премии для
каждого случая и составим закон распределения
функции премии y
yi |
-100 |
-90 |
-60 |
-30 |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
500 |
pi |
0,01 |
0,07 |
0,14 |
0,12 |
0,16 |
0,14 |
0,17 |
0,10 |
0,05 |
0,04 |
Размер ожидаемой премии есть
математическое ожидание функции y:
Ответ: ожидаемая премия
49,7 руб.
Раздел 4. Модель межотраслевого баланса
Межотраслевой баланс в экономике - это
метод анализа взаимосвязей между различными
секторами экономической системы.
Предположим, что исследуемую экономическую
систему можно разделить на несколько
отраслей, производящих определенные
товары и услуги. При производстве товаров
и услуг в каждой отрасли расходуются
определенные ресурсы, которые производятся
как в других отраслях, так и в данной отрасли.
Это означает, что каждая отрасль экономики
выступает в системе межотраслевых связей
одновременно производителем и потребителем.
Полагаем, что производственная сфера
хозяйства представляет собой n отраслей,
каждая из которых производит свой однородный
продукт. Для обеспечения своего производства
каждая отрасль нуждается в продукции
других отраслей (производственное потребление).
Введем следующие обозначения:
хi - общий объем продукции i-й отрасли
(ее валовый выпуск), i=1,2,...,n;
хij–объем продукции i-й отрасли, потребляемый
j-й отраслью при производстве объема продукции
хj;
yi–объем продукции i-ой отрасли, предназначенный
для реализации (потребления) в непроизводственной
сфере, или так называемый продукт конечного
потребления.
- коэффициенты прямых
затрат (для производства продукции j-й отрасли
объемом хj нужно использовать продукцию
i-йотрасли объемом aijxj)
Балансовый принцип вязи различных
отраслей промышленности состоит в том,
что валовой выпуск i-ой отрасли должен
быть равным сумме объемов потребления
в производственной и непроизводственной
сферах.
В принятых обозначениях балансовые
соотношения имеют вид:
(4.1)
Введем в рассмотрение векторы-столбцы
объемов произведенной продукции (вектор
валового выпуска), объемов продукции
конечного потребления (вектор конечного
потребления) и матрицу коэффициентов
прямых затрат:
(4.2)
Тогда система уравнений (4.1)
в матричной форме имеет вид
Это соотношение называют уравнением
линейного межотраслевого баланса. Вместе
с описанием матричного представления
это уравнение носит название модели Леонтьева.
Уравнение межотраслевого баланса
можно использовать в двух целях. В первом,
наиболее простом случае, когда известен
вектор валового выпуска
, требуется рассчитать вектор конечного
потребления
.
Во втором случае уравнение
межотраслевого баланса используется
для целей планирования со следующей формулировкой
задачи: для периода времениТ известен вектор
конечного потребления
и требуется определить вектор
валового выпуска. Здесь необходимо
решать систему линейных уравнений (4.3)
с известной матрицей А и заданным вектором
.
Между тем система (4.3) имеет
ряд особенностей, вытекающих из прикладного
характера данной задачи; прежде всего
– все элементы матрицы А и векторов
и
должны быть неотрицательными.
Матрица А, все элементы которой
неотрицательны, называется продуктивной,
если для любого вектора
с неотрицательными компонентами
существует решение уравнения (4.3) – вектор
,все элементы которого неотрицательны.
В таком случае и модель Леонтьева называется
продуктивной.
Перепишем систему (4.3) с использованием
единичной матрицы Е в виде
Если существует обратная матрица
(Е – А)-1, то существует
и единственное решение уравнения (4.3)
Матрица (Е – А)-1 называется
матрицей полных затрат.
Задача 4. Установить вид модели межотраслевого
баланса продукции выпускаемой в объемах
х1, х2, х3 с заданной
матрицей коэффициентов прямых затрат
и конечным продуктом, заданным вектором
. По виду матрицы А составить матрицу
полных затрат В.
Решение.
Пусть
– объем выпускаемой продукции, тогда
X = AX + C – уравнение межотраслевого
баланса, соответствующее модели Леонтьева.
Коэффициенты полных затрат
найдем с помощью матрицы
, где Е – единичная матрица, А - матрица
коэффициентов прямых материальных затрат.
Определитель
равен
тогда матрица полных затрат
равна
, где
- матрица, обратная матрице
.
Найдем
.
Алгебраические
дополнения:
Следовательно,
матрица полных затрат
Объем валовой продукции отраслей
найдем по формуле X= ВС:
Раздел 5. Производственные функции
Производственная функция отражает
функциональную связь между объёмом эффективно
используемых факторов производства (трудом
и имущественным капиталом) и с их помощью
достигаемым выпуском при существующем
техническом и организационном знании.
Производственная функция имеет
в общем следующее выражение:
где:
K – число производственного
капитала
L – число производственных
трудовых часов или, другими словами, число
производственных единиц гуманного капитала
При прочих равных увеличение
одного из факторов производства ведёт
к увеличению выпуска – первая производная
положительна. Однако предельная производительность
возрастающего фактора уменьшается с
увеличением величины данного фактора
– вторая производная отрицательна.
В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил,
что если совместить графики зависимости
от времени логарифмов показателей реального
объема выпуска (y), капитальных
затрат (К) и затрат труда
(L), то расстояния
от точек графика показателей выпуска
до точек графиков показателей затрат
труда и капитала будут составлять постоянную
пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу
Коббу с просьбой найти математическую
зависимость, обладающую такой особенностью,
и Кобб предложил следующую субституционную
функцию:
Эластичность выпуска продукции
по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как
,
и аналогичным образом легко
показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.
Следовательно, увеличение
затрат капитала на 1% приведет к росту
выпуска продукции на a процентов, а увеличение затрат
труда на 1% приведет к росту выпуска наb процентов. Можно предположить,
что обе величины a и b находятся между нулем и единицей.
Они должны быть положительными, так как
увеличение затрат производственных факторов
должно вызывать рост выпуска. В то же
время, вероятно, они будут меньше единицы,
так как разумно предположить, что уменьшение
эффекта от масштаба производства приводит
к более медленному росту выпуска продукции,
чем затрат производственных факторов,
если другие факторы остаются постоянными.
В соответствии с допущением
о конкурентности рынков факторов производства a и b имеют дальнейшую интерпретацию
как прогнозируемые доли дохода, полученного
соответственно за счет капитала и труда.
Если рынок труда имеет конкурентный характер,
то ставка заработной платы (w) будет равна
предельному продукту труда (dy/dL):
.
Следовательно, общая сумма
заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске
продукции (wL/Y) составит
постоянную величину b. Аналогичным образом норма
прибыли выражается через dy/dK:
,
и, следовательно, общая прибыль
(rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной
величиной a.
Задача 5.1. Для заданной мультипликативной
производственной функции Y = 32∙L0,5∙K0,5, K = 25, L =
100, найти предельный продукт труда, предельный
продукт капитала, коэффициенты эластичности
по труду и капиталу.
Решение.
Коэффициент эластичности по
труду a = 0,5.
Коэффициент эластичности по
капиталу b = 0,5.
Предельный продукт труда
Предельный продукт капитала
Спрос – платежеспособная потребность
покупателей в данном товаре при данной
цене. Спрос характеризуется ценой спроса
– количеством товара, которое покупатели
готовы приобрести по данной цене.
Предложение – способность и желание продавцов
предложить определенное количество товара
по данной цене. Характеризуется, в первую
очередь, величиной предложения.
Точка равновесия – точка пересечения кривой
спроса и кривой предложения на графике
спроса и предложения. Точка пересечения
соответствует состоянию равновесия,
ее координаты – равновесной цене, равновесному
количеству.
Равновесная цена – цена, для которой величина
спроса и величина предложения равны.
Задача 5.2. Для заданных функций спроса и предложения
определить равновесную цену p спроса-предложения
на товар.
Решение.
Равновесная цена находится
из условия g=s, тогда
, откуда p=1, т.е. равновесная
цена 1ден.ед.
График изображен на рис. 5.1.
Функция полезности
U (x, y) выражает меру полезности (для
потребителя) набора (x, y), где х – количество
товара Х, а y – количество товара Y.
Чувствительность набора (х,
у) к незначительному изменению х при фиксированном
у называется предельной полезностью
х и определяется как частная производная . Аналогично предельная
полезность у определяется как
Кривые безразличия задаются уравнениями U(x, y)
= C, где C - любая const. Таким образом,
кривая безразличия математически представляется
как линия уровня функции полезности,
т.е. . Для любой функции
полезности существует бесконечное множество
кривых безразличия (для разных const).
Предельная норма
замещения х на у в точке А(х0, у0) равна отношению их предельных
полезностей: