Математические методы в экономике

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ

(ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ)

Введение

 

В настоящее время экономика  характеризуются быстротой сменяемости  условий экономической деятельности, что предъявляет высокие требования к принятию решений о выборе оптимальной  стратегии по управлению предприятием, компанией, фирмой. В этих условиях использование серьезных методов анализа в экономических исследованиях приобретает первостепенное значение.

В процессе решения экономических  задач приходится формализовать  зависимость между отдельными элементами экономической системы, применять математический аппарат, т.е. использовать экономико-математические методы.

Результатом применения экономико-математических методов является математическая модель рассматриваемого экономического объекта или процесса.

 Задачи линейного программирования  являются математическими моделями  многочисленных задач технико-экономического  содержания. Такие задачи довольно  часто встречаются на практике, например, при решении проблем,  связанных с поиском способов  оптимального распределения и использования ограниченных ресурсов, управления и планирования производственных процессов и т.д.

1. Понятия о моделях и моделировании.

 

Моделью называется материальный или идеальный объект, который создается для изучения исходного объекта (оригинала) и который отражает наиболее важные качества и параметры оригинала.

Модели могут принимать различные  формы, но наиболее полезной и общеупотребительной  из них является математическая форма. Математическая модель экономического объекта - это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств и логических отношений. Математические модели в экономике разрабатываются для достижения следующих целей:

1. Познания экономического объекта или системы.
2. Принятия наилучших решений для достижения экономическим объектом или системой поставленной перед ними цели.
3. Прогнозирования поведения экономического объекта.

Для построения экономико-математической модели используется следующий алгоритм:

1. Формируются предмет и цели исследования.
2. В рассматриваемой экономической системе выделяются определенные элементы, соответствующие данной цели исследования, а также наиболее важные характеристики этих элементов.
3. Словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.
4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формируются, насколько возможно, взаимосвязи между ними; тем самым формируется математическая модель.
5. Проверяется пригодность модели на основе правильности получаемых с ее помощью результатов и оценивается их устойчивость.
6. Проводятся расчеты, обрабатываются и анализируются полученные результаты и, наконец, принимается оптимальное решение.

Оптимальное решение заключается  в поиске наилучшего варианта из множества  возможных по выбранному критерию оптимальности. Такими критериями могут быть рентабельность, доход, издержки обращения, товарооборот и др. В связи с этим оптимальным считается такое решение, которое обеспечивает, например, максимальный доход (решение задачи на максимум) или минимум издержек обращения (решение задачи на минимум). В целом поиск оптимальных решений можно свести к двум основным постановкам задач: получение заданного эффекта при минимуме затрат или получение максимального эффекта при заданных ограниченных ресурсах.

Экономико-математические модели можно классифицировать по используемому математическому аппарату:

1. модели, использующие  методы классической математики;
2. модели, использующие  методы прикладной математики.

Методы классической математики включают математический анализ (дифференциальное и вариационное исчисление) и теорию вероятностей. Эти методы целесообразно использовать при расчете параметров календарно-плановых нормативов – определение размеров партий деталей, длительности производственного цикла, а также при решении задач оперативного регулирования хода производства и т.д.

Методы прикладной математики обширны  по номенклатуре. Их можно классифицировать следующим образом: математическое программирование, математическая статистика, комбинаторные методы, теории расписаний, игр, массового обслуживания, управления запасами, экспертных оценок.

Математическое  программирование – это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества  возможных решений выбор такого, которое является наилучшим (оптимальным) по заданному критерию при определенных ограничительных условиях. В их числе:  линейное, нелинейное, динамическое, стохастическое, выпуклое, квадратичное, параметрическое, целочисленное программирование и др.

Среди задач математического программирования лучше всего изученными являются так называемые задачи линейного программирования. Это задачи, в которых целевая функция является линейной функцией независимых переменных, и условия, определяющие допустимые значения этих переменных, имеют вид линейных уравнений или линейных неравенств.

 

2. Примеры математических моделей экономических задач.

 

2.1. Планирование  производства. Пусть некоторое предприятие производит п типов товаров, затрачивая при этом т типов ресурсов. Известны следующие параметры:

a_ij - количество i-гo ресурса, необходимое для производства единичного количества j-го товара, a_ij≥0, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n;

b_i - запас i-гo ресурса на предприятии, b_i > о;

c_j - цена единичного количества j-го товара,c_j > о.

Считаем, что технология производства такова, что затраты ресурсов растут прямо пропорционально объему производства. Пусть x_j показывает планируемый объем производства j-гo товара. Тогда допустимым является только такой набор производимых товаров х =(x₁,x₂, ...,x_n), при котором суммарные затраты каждого i-гo ресурса не превосходят его запаса:

 

, i=1,2,...,m. (1)

Кроме этого, имеется следующее  естественное ограничение:

x_j≥0, j=1,2,..,n (2)

Стоимость набора товаров Х выражается величиной

 (3)

Задача планирования производства ставится так: среди всех векторов х, удовлетворяющих ограничениям (1), (2), найти такой, при котором величина (3) принимает наибольшее значение.

2.2. Задача  о рационе. При организации питания больших коллективов людей, например в армии, больницах и т.п., возникает задача о наиболее экономном рационе питания, удовлетворяющем определенным медицинским требованиям. Пусть имеется n продуктов питания (хлеб, мясо, молоко, картофель и т.п.), в которых учитывается m полезных веществ (жиры, белки, углеводы, витамины и т.п.) и известны следующие параметры:

a_ij - содержание i-ro вещества в единичном количестве j-го продукта a_ij≥0, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n;

b_{i -} минимальное количество i-ro вещества, которое должно потребляться индивидуумом в расчете, скажем, на месяц b_i > о;

c_j - цена единичного количества j-ro продукта, c_j > о

Задача о рационе формулируется  следующим образом:

, i=1,2,...,m.

x_j≥0, j=1,2,..,n,

где x_j - количество j-ro продукта, потребляемого индивидуумом в течение месяца. Другими словами, среди всех рационов питания x=(x₁,x₂,...,x_n), покрывающих минимальные потребности индивидуума в полезных веществах, необходимо выбрать наиболее дешевый.

2.3. Транспортная  задача. Пусть некоторый однородный продукт (уголь, кирпич, картофель и т.п.) хранится на m складах и потребляется в n пунктах.

Известны следующие параметры:

a_i –запас продукта на i-том складе, а_i >0; i=1,2,...,m;

b_j- потребность в продукте в j-ом пункте,b_j>0, j=1,2,...,n;

c_ij - стоимость перевозки единичного количества продукта с i-го склада в j-ый пункт, с_ij>0.

При этом суммарные запасы равны  суммарным потребностям:

. (4)

Транспортная задача ставится так:

,

, i=1,2,...,m,

(5)

, j=1,2,...,n,

x_ij≥0, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n;

где x_ij показывают количество продукта, перевозимого с i-ro склада в j-ый пункт. Иными словами, требуется организовать перевозки продукта со складов в пункты потребления так, чтобы при полном удовлетворении потребностей минимизировать суммарные транспортные расходы. Заметим, что условие (4) является необходимым и достаточным для существования, по крайней мере, одной матрицы перевозок Х =( x_ij), удовлетворяющей ограничениям задачи (5).

 

2.4. Задача  о банке. Для простоты рассмотрим числовой пример такой задачи. Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн. долларов. Часть этих средств, но не менее 35 млн. долларов должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно. Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль и, как правило, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. Считаем, что ликвидное ограничение следующее: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.

Пусть Х₁ - средства (млн. долл.), размещенные в кредитах, Х₂ - средства, вложенные в ценные бумаги. Тогда должны выполняться следующие линейные ограничения:

балансовое ограничение

x₁+x₂≤100; (6)

кредитное ограничение 

x₁≥35; (7)

ликвидное ограничение

x₂≥0,3(x₁+x₂) (8)

условие неотрицательности

x₁≥0, x₂≥0. (9)

 

Если С₁ -доходность кредитов, а С₂ -доходность ценных бумаг, то цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг:

f=c_1∙x₁+c_2∙x₂→max,

при условиях (6) – (9).

Так как кредиты менее ликвидные, чем ценные бумаги, то обычно С₁ > С₂ . Получаем задачу линейного программирования с ограничениями (9)-(12) и целевой функцией, которую нужно максимизировать.

Таким образом, из рассмотренных выше примеров, следует, что задача линейного  программирования заключается в  нахождения минимальных и максимальных значений линейных функций в области неотрицательных значений переменных величин при ограничениях, заданных системой линейных уравнений или неравенств.

 

 

3. Общая постановка  задачи линейного программирования 

 

Линейное программирование (ЛП) есть совокупность математических методов нахождения минимальных и максимальных значений линейных функций в области неотрицательных значений переменных величин при ограничениях, заданных системой линейных уравнений или неравенств.

 

Определение.     Линейная функция вида:

 

f(x)=с₁х₁+с₂х₂+…+с_n х_n                                          (1)

 

максимум или минимум которой  находится в задаче линейного  программирования, называется целевой функцией.

  

Задачей линейного  программирования (ЗЛП) называется задача вида: найти max(min) целевой функции (1) при условии, что на переменные х₁,х₂…х_n наложены ограничения в виде линейных равенств или неравенств:

 

 

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n ≤ b_i,     i =1, … , m₁,

 

a_l1x₁+a_l2x₂+…+a_lnx_n ≥ b_l,     l =m₁+1, … , m₂,                                              (2)

 

a_k1x₁+a_k2x₂+…+a_knx_n = b_k,  k=m₂+1, … , m,

 

x_j≥0, j=1, … , n.

 

Искомые переменные x₁,x₂,…,x_n могут выражать: объемы производства различных видов продукции, планируемые под с\х культуры, посевные площади, количество составляющих веществ в различных смесях, количество единиц приобретаемого продукта и т.д. Функция f(x) может представлять собой стоимость выпускаемой продукции, ожидаемый урожай, доход, ущерб, а условия ограничений, которым подчинены x_i, i=1, n отражают ограниченность имеющихся естественных материальных, денежных ресурсов, требования к количеству продукции или производственных мощностей.

 

Определение Совокупность значений переменных x₁,x₂, … , x_n удовлетворяющих условиям ЗЛП и образующих область определения функции f(x), называется областью допустимых значений переменных.

 

Определение Набор значений x_i, i=1,…,n из допустимой области, при которой целевая функция (1) принимает наибольшее или наименьшее значения называется решением ЗЛП или оптимальным планом.

 

Замечание Определение минимального значения целевой функции f(x) можно свести к определению максимального значения функции (-f(x)), так как min f(x)= -max (-f(x)).

 

Определение. Критерием оптимальности называется некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, служащий формализацией конкретной цели управления и выражаемый при помощи целевой функции.