Дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее помимо переменной х, искомую  функцию у и её производные различного порядка.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок наивысшей производной, содержащейся в этом уравнении.

Решить дифференциальное уравнение - это найти такую функцию у=(х,с)   определенную на некотором интервале (а;в), удовлетворяющую этому уравнению, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Интегральной кривой – называется график решения дифференциального уравнения.

Виды решений дифференциального уравнения

Общее решение  дифференциального уравнения - это семейство функций  у=(х,с)  удовлетворяющее этому уравнению при произвольном  значении постоянной с.

Общее решение - это решение, зависящее от произвольных  постоянных. Оно содержит столько произвольных  постоянных, каков порядок уравнения.

Частное решение – это решение получающиеся из общего решения при конкретных определенных значениях произвольных  постоянных: у=(х,С0).

Для нахождения частных решений задают дополнительные условия. Эти условия будут называться начальным, если все они относятся к одному и тому- же значению независимой переменной.( условия Коши)

Геометрический смысл решения дифференциальных уравнений

1. С геометрической точки зрения общее решение - множество интегральных кривых  у=(х,с),  соответствующих различным значениям С. Все эти кривые располагаются  параллельно друг другу со сдвигом по оси оу.
2. С геометрической точки зрения частное решение дифференциального уравнения - это только одна интегральная кривая у=(х,С0), проходящая через заданную точку( х0;у0).

Решение простейших дифференциальных уравнений

1. Что бы решить уравнение вида: у′=f(x) нужно его проинтегрировать один раз
2. Что бы найти общее решение уравнения вида у″=f(x), его нужно последовательно проинтегрировать дважды.
3. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с  постоянными коэффициентами.

Уравнение вида ay″ +by′ +cy =0 называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общий интеграл ( общее решение) находится с помощью характеристического уравнения:     ak2 + bk + c =0, которое получается из этого уравнения, если сохраняя в нем все коэффициенты , заменить функцию у единицей (у=1), а все её производные соответствующим степеням k.

1. Если все корни характеристического уравнения действительные и различные, то общий интеграл имеет вид: у = С1ek1x + С2еk2x
2. Если характеристическое уравнение имеет корни действительные и равные (k1=k2=k) , то у = С1екх + С2хекх.
3. Если корни чисто мнимые (k =±bi),то у = С1 cosbx + С2 sinbx
4. Если корни комплексные (k = а ±bi), то у= еах (С1 cosbx + С2 sinbx)