Аналітична геометрія Лобачевського

Візьмемо на промені NB точку D'1  так, щоб N - D1 - D'1. Промінь MD'1 перетинає відрізок DP в деякій точці D'  (мал. 6), яка належить класу K1. Отримане виведення суперечить пропозиції Дедекинда. Таким чином, DК2. На прямій MD візьмемо точку З так, щоб З - М - D. По теоремі 1 CD||AB.

Залишається довести, що CD - єдина пряма, що проходить через точку М і паралельна прямій АВ.  Нехай, навпаки, C'D' - інша пряма, що проходить через точку М і паралельна прямій АВ.

За визначенням паралельних прямих внутрішні промені кутів NMD і NMD' перетинають промінь NB, тому промені MD, MD' лежать в тій же підлозі-площині з межею MN, що і промінь NB. Від сюди ми приходимо до висновку, що або MD - внутрішній промінь кута NMD', або MD' - внутрішній промінь кута NMD.

Але тоді одна з  прямих CD або  C'Dr перетинає   пряму   АВ,   що суперечить визначенню паралельності прямих.

 

                                                                                                                 рис.          7

3. Нехай М - точка, що не  лежить на прямій a, a MN - перпендикуляр, проведений з точки М на  пряму а. Виберемо на прямій  а дві точки А і В так, щоб А- N - В. З теореми 2 витікає, що  через точку М проходить єдина  пряма CD, паралельна спрямованій  прямій АВ, і єдина пряма EF, паралельна  спрямованій прямій ВА   (мал. 7).

В ході доведення теореми 2 ми встановили, що кути DMN і FMN гострі, тому CD і EF - різні прямі. Доведемо, що  DMN =  FMN. Нехай, навпаки,  DMN     FMN, наприклад  DMN >   FMN.

Розглянемо промінь MF', симетричний свічу MF відносно прямої MN(промінь MF' не зображений на мал. 7). Цей промінь є внутрішнім променем кута DMN. Оскільки MF не перетинає пряму АВ, то і MF' не перетинає цю пряму. Але це суперечить визначенню паралельності прямих CD і АВ.

Таким чином, через кожну точку М, що не лежить на цій прямій а, проходять дві прямі, паралельні прямій а, в двох різних напрямах. Ці прямі утворюють рівні гострі утлі з перпендикуляром MN, проведеним з точки М до прямої а. Кожен з цих кутів називається кутом паралельності у точці М відносно прямій а.

Доведемо, що величина кута паралельності цілком визначається відстанню від точки М до прямої а. На цьому малюнку NMD - кут паралельності в точці М відносно прямої a, a N'M'D' - кут паралельності в точці М' відносно прямої а',   , = NMD, x = MN, a/ = N'M'D',  x' =M/N/.

Доведемо, що якщо х = х’, то = '. Нехай, навпаки  / ,

наприклад а' > . Тоді існує внутрішній промінь h' кута N'M'D',

такий, що кут між променями M'N' і h рівний . Промінь h' перетинає

пряму а' в деякій точці F'.

На прямій а від точки N відкладемо відрізок NF = N'F' так, щоб точки F і D лежали в одній напівплощині з межею MN. Отримаємо трикутник MNF, рівний трикутнику M'N'F'  (трикутник MNF на мал. 8 не зображений). Так

                                   
                

                                   
                

рис.8

як NMF = , те промені MD і MF співпадають. Приходимо  до висновку, що прямі MD і   перетинаються. Це суперечить визначенню паралельних прямих. Таким чином  =   '.

Итак,  - функція від х:   = П(х). Вона називається функцією Лобачевского і грає істотну роль в гіперболічній геометрії. З попереднього викладу ясно, що функція П(х) визначена для кожного позитивного х і що 0 < II(х) < П/2 .

Н. И. Лобачевский отримав аналітичне вираження цій функції:

де k - деяке позитивне число.

З цієї формули виходить, що П(х) - монотонно убуваюча безперервна функція. З цієї формули витікає також, що П(х) набуває усіх значень, що лежать між 0 і П/2 . Іншими словами, будь-який гострий кут є кутом паралельності в деякій точці відносно цієї прямої.

4. У геометрії Лобачевского  існує залежність між кутовими  і лінійними величинами; у цьому  істотна відмінність геометрії  Лобачевского від геометрії Евкліда. Так, в геометрії Лобачевского  немає подібності фігур; зокрема, трикутники з відповідно рівними  кутами рівні. Ще одна особливість  геометрії Лобачевского пов'язана  з одиницею виміру довжин. У  геометрії Евкліда існують абсолютні  константи кутових величин, наприклад  прямий кут або радіан, тоді  як лінійних абсолютних констант  не існує. Для того, щоб довжини  відрізків виразити числами, необхідно  вибрати одиницю виміру довжин. В якості такої одиниці може бути вибраний довільний відрізок. В протилежність цьому в геометрії Лобачевского немає в цьому необхідності, оскільки, маючи природну одиницю виміру кутів, можна умовитися про вибір природної одиниці довжин. Наприклад, за одиницю довжини можна вибрати відрізок, якому відповідає кут паралельності, рівний  П/4.

2.5. Трикутники і чотирикутники на площині Лобачевского.

1. Усі теореми про трикутники, які в геометрії Евкліда доводять  без допомоги аксіоми паралельності, мають місце також в геометрії  Лобачевского. Переважна більшість  теорем відносяться саме до  цього типу. Теореми про рівнобедрені  трикутники, три ознаки рівності  трикутників, теорема про зовнішнє  вугілля трикутника, теореми про  співвідношення між сторонами  і кутами, теореми про перетин  бісектрис внутрішніх кутів трикутника  і про перетин

             

рис 9                                                          рис 10

медіан трикутника в одній точці та ін. теореми  які мають місце як в геометрії Евкліда, так і  в геометрії Лобачевского.

Але трикутники і чотирикутники на площині Лобачевского мають ряд специфічних властивостей. Розглянемо деякі з них.

Теорема   1. Сума кутів будь-якого трикутника менше 2d.

Пусть ABC— произвольный треугольник. По первой теореме 
Саккери — Лежандра (Сумма углов треугольника не больше 2d) АВС 2d. Если предположить, что АВС = 2d, то окажется справедливым V постулат, что противоречит аксиоме V*. Следовательно, 
АВС < 2d.

Слідство. Сума кутів трикутника непостійна, т. е. не одна і та ж для усіх трикутників.

Теорема 2. Сума кутів опуклого чотирикутника менше 4 d.

Нехай ABCD -данный опуклий чотирикутник. Проведемо діагональ АС і розкладемо цей чотирикутник на два трикутники ABC і ADC. Тогда А+В+С+D= АВС + ADC. Но АВС < 2d и 
ADC < 2d, поэтому А + В + С + D <4d.

Теорема 3. Якщо три кути одного трикутника відповідно дорівнюють трьом кутам іншого трикутника, то ці трикутники рівні.

Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' имеем A = A’ 
B = B', C = С’. Докажем сначала, что АВ = A’В’. Предположим, что АВ А'В'; для определенности допустим, что 
АВ> А'В'. На лучах АВ и АС возьмем точки В" и С" так, чтобы 
АВ" = А'В' и АС" = А'С’ (рис. 10). По первому признаку равенства треугольников имеем /\АВ"С" = /\А'В'С, поэтому 1 = 2. 
По условию 2 = 3, следовательно, 1 = 3. Аналогично устанавливаем, что 4 = 6. По предположению АВ > А’В’ поэтому А — В" — В, т. е. прямая В"С" пересекает сторону АВ треугольника ABC. В силу равенства

 

 

     1 = 3 прямые В" С" и ВС не пересекаются, следовательно, по аксиоме Паша прямая В"С" пересекает сторону АС треугольника ABC, и значит, А — С" — С. Отсюда следует, что четырехугольник BB”C”C выпуклый.

Из равенств 1 = 3 и 4 = 6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 4d. Таким образом приходим в противоречие с теоремой 2. Значит, АВ = А’B’. По второму признаку равенства треугольников АВС = A'В'С'. ■

Рис 11,12

2. Выпуклый четырехугольник  называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С= D и каждый из углов С и D острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ  AD <BC, то С< D.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ С < D, то AD <ВС.

Глава III. Моделі геометрії Лобачевського.

Перелічимо найбільш відомі класичні ізометрічниє (зберігають відстань між точками) моделі (інтерпретації) площині Лобачевського, що має гауссову кривизну K = - 1:

• інтерпретація Бельтрами в колі;
• інтерпретація Бельтрами гіперболічної геометрії на псевдосфері;
• евклидова модель Келі-Клейна;
• проективна модель Келі Клейна;
• інтерпретація Пуанкаре на півплощини;
• інтерпретація Пуанкаре усередині кола;
• інтерпретація Пуанкаре на Гіперболоїд.  
  Розглянемо деякі з них.

3.1. Модель (інтерпретація) Бельтрами.

Эудженио Бельтрами(1835-1900) знайшов модель для геометрії НеЕвкліда, показавши у своїй роботі "Досвід інтерпретації геометрії"(1868г.) НеЕвкліда, що разом з площинами, на яких здійснюється геометрія Евкліда, і сферичними поверхнями, на які діють формули сферичної геометрії, існують і такі реальні поверхні, названі їм псевдосферами(рис.23), на яких частково здійснюється планіметрія Лобачевского. Відомо, що сферу можна отримати обертанням півкола навколо свого діаметру. Подібно до того, псевдосфера утворюється обертанням лінії FCE, що називається трактрисою, навколо її осі АВ(рис.22). Итак, псевдосфера - це поверхня в звичайному реальному просторі, на якому виконуються багато  аксіом і теореми

Рис.23

планіметрії НеЕвкліда Лобачевского. Наприклад, якщо накреслити на псевдосфері трикутник, то легко угледіти, що сума його внутрішніх кутів менше 2π. Сторона трикутника - це дуги псевдосфери, що дають найкоротшу відстань між двома її точками і виконують ту ж роль, яку виконують прямі на площині. Ці лінії, що називаються геодезичними, можна отримати, затиснувши туго натягнуту і политу фарбою або крейдою нитка,  у вершинах трикутника. Таким чином, для планіметрії Лобачевского була знайдена реальна модель - псевдосфера. Формули нової геометрії Лобачевского знайшли конкретне тлумачення. Ними можна було користуватися, наприклад, для вирішення псевдосферичних трикутників. Псевдосферу, яку ми назвали "моделлю", Бельтрами назвав інтерпретацією(тлумаченням) геометрії НеЕвкліда на площині.

Згодом, з розвитком і введенням в математику  аксіоматичного методу, під інтерпретацією(чи  моделлю) деякої системи аксіом стали розуміти будь-яку безліч об'єктів, в яких ця система аксіом знаходить своє реальне втілення, тобто, будь-яка сукупність об'єктів, відношення між якими     повністю співпадають з тими, які описуються в цій системі аксіом. При цьому вважають, що якщо для деякої системи аксіом існує або можна побудувати інтерпретацію(модель), то ця система аксіом несуперечлива, тобто, не лише самі аксіоми, але і будь-які теореми, на них ті, що логічно грунтуються ніколи не можуть суперечити одна іншій.

3.2. Модель Келі - Клейна площині Лобачевського.

Модель Келі - Клейна - перша модель всій площині Лобачевського. За допомогою неї вдалося довести несуперечність геометрії Лобачевського в припущенні несуперечності Евклідової геометрії.

Щоб перейти до побудови однієї з моделей геометрії Лобачевського покажемо, як за допомогою подвійного відносини можна визначити «відстань» між точками а і b інтервалу (x, у). Покладемо  
.  
Легко перевірити, що таке визначення має сенс, тобто  
 
Справді, х-а <0, х-b <0, у-а> 0, у-b > 0. Ясно також, що р (а, а) = 0 і р {а, b) при і при . Крім того. Р (а, b) = р (b, а,. Так як  
.  
Зазначимо, що ln [a, b, x, y] = - ln [a, b, x, y], тому немає необхідності розрізняти точки х і у, т. е. задавати орієнтацію інтервалу (х, у). З тотожності  
 
випливає, що ± р (а, b) ± р (b, с) ± р (с, а) = 0. Більш ретельна перевірка показує, що якщо точка з лежить між а і b, то р (а, с) + р (з, b) = р (а, b).

Відстань р (а, b) не змінюється при проектних перетвореннях прямий, що зберігають інтервал (х, у).

Визначимо модель Клейна площині Лобачевського. Точками моделі Клейна є внутрішні точки деякого кола. Відстань між точками а і b визначається як р (а, b) для інтервалу (х, у), де х і у точки перетину прямої ab з граничною окружністю даного кола. Якщо точки розташовані в такому порядку, як на рис. 10, то ln [a, b, x, y]> 0. тобто р (а, b) = ln [a, b, x, y].  
 
Рис. 10  
Теорема 1. У моделі Клейна прямими є хорди кола.  
Доказ. Потрібно довести, що р (а, c) + р (c, b)> р (а, b), причому якщо точка з не лежить на відрізку (a, b), то р (а, с) + р (c , b)> р (а, b). Нехай промені ab і ba перетинають коло в точках х і у відповідно, промені ас і c а в точках х1  і y1, Промені cb і bc в точках х і у (Рис. 11). Тоді точка x' перетину хорд х х і ху лежить на відрізку xb, а точка у перетину хорд y у і ху лежить на відрізку ау. Нехай р - точка перетину прямих х х і y у , C '- точка перетину прямих р c і ху. Точка c 'лежить на відрізку ab.  
 
Рис. 11  
Подвійне ставлення зберігається при проекції одній прямій па іншу. Тому  
[А, c, х , Y ] = [А, c, '. Х', у ']  
[С, b, х , Y ] = [C ', b, х', у ']  
(Ми розглядаємо проекції з точки р на пряму ху).