Аналітична геометрія Лобачевського

Покажемо, що [а, c, '. Х', у ']> [а, c',. Х, у] і [c ', b, х', у ']> [c', b,. Х , у]. Іншими словами, потрібно довести, що якщо точки а, b,. х, у розташовані в такому порядку, як на рис. 10. то збільшення відрізка ху призводить до зменшення подвійного відносини [а, b,. х, у]. Будемо вважати позитивним напрям променя ух. Тоді для збільшення відрізка ху до координаті точки х потрібно додати позитивне число . Другий кінець відрізка залишимо поки па місці. Подвійне ставлення при цьому зменшиться, так як  
 
Для другого кінця відрізка доказ аналогічно.  
В результаті отримуємо нерівності  
[А, c, х , Y ] = [А, c, '. Х, у] 
[С, b, х , Y ] = [C ', b, х, у]  
Отже,  
[А, c, х , Y ] [С, b, х , Y ]> [А, c, '. Х, у] [c', b, х, у] = [a, b, x, y], т.е  
p (a, c) + p (c, b)> p (a, b).

Геометрія Лобачевського, як і сферична геометрія і геометрія площині, має досить велику групу ізометрій, а саме, будь-яку точку А можна перевести в будь-яку іншу точку В і при цьому перевести будь-яку пряму, що проходить через точку А, в будь-яку пряму, що проходить через точку В . Щоб довести це, достатньо перевірити, що існує перетворення площини, яке зберігає подвійне ставлення, переводить даний коло в себе і переводить внутрішню точку А в будь-яку іншу внутрішню точку В. Справді, таке перетворення є ізометрією. А для того, щоб перевести будь-яку пряму в будь-яку іншу пряму, можна крапку А перевести в центр Про кола, а потім точку О перевести в точку В. При цьому будь-яку пряму, що проходить через точку О, можна поворотом перевести в будь-яку іншу пряму, що проходить через точку О.

Теорема 2. Існує перетворення площини, яке зберігає подвійне ставлення, переводить даний коло в себе і переводить його центр в довільну внутрішню точку.  
Доказ. Розглянемо прямий круговий конус з вершиною S. Перетин конуса площиною, перпендикулярної його осі, є колом з діаметром PQ і центром О. Розглянемо також перетин конуса площиною, що проходить через точку О і перпендикулярній площині SPQ (Конус ми вважаємо нескінченним в одну сторону). Якщо точка Q належить інтервалу QR (Рис. 12), то розглянутий переріз є еліпсом.        Рис. 12

На площині ^ П ', що містить цей еліпс, і на площині П, яка містить окружність з діаметром PQ, можна ввести координати так, що коло і еліпс співпадуть при ототожненні точок з однаковими координатами. При цьому в якості початку координат ми виберемо відповідно центр еліпса і центр кола, а в якості осі Ох виберемо прямі P 'Q' і PQ. Тоді точка О, що лежить всередині еліпса, ототожнюється з такою точкою O кола,

 що Р'О: OQ '= PO : O Q.

При переміщенні точки Q 'по відрізку QR ставлення Р'О: O Q змінюється від 1 до . Тому точка O може бути будь-якою точкою, що лежить всередині відрізка O Q.

Шуканим перетворенням є композиція відображень f: П П і

g : П П де f - Проекція з точки S, а g - ототожнення точок з однаковими координатами.

3.3. Моделі Пуанкаре.

Конформно-евклидова модель Пуанкаре - модель простору Лобачевського, запропонована Анрі Пуанкаре в 1882 у зв'язку із завданнями теорії функцій комплексного змінного. Існують різновиди моделі - в колі та на півплощині для планіметрії Лобачевского, а також в кулі і в півпросторі - для стереометрії Лобачевського, відповідно.

Модель Пуанкаре примітна тим, що в ній кути зображаються звичайними кутами (тобто модель Пуанкаре конформними) на відміну від моделі Клейна, в якій визначення кутів проводиться набагато складніше.  
1. Модель Пуанкаре в колі  
У моделі Пуанкаре в колі за площину Лобачевського приймається внутрішність круга (рис.14) в евклідовому просторі; межа даного кола (коло) називається «абсолютом». Роль прямих виконують містяться в цьому колі дуги кіл (a, b, b '), перпендикулярних абсолюту, і його діаметри; роль рухів - перетворення, одержувані комбінаціями інверсій щодо кіл, дуги яких служать прямими.  
Рис. 13                                                                        Рис. 14

З'ясуємо, як влаштовані прямі в моделі Пуанкаре. Хорде АВ відповідає перетин південній півсфери площиною, перпендикулярної екватору. Це перетин являє собою півколо, перпендикулярну екваторіальній окружності (рис. 13). При проекції з полюса на екваторіальну площину ця півколо переходить у дугу кола, перпендикулярній екваторіальній окружності. Таким чином, для моделі Пуанкаре в колі прямими є дуги кіл перпендикулярних граничної кола даного кола.

Для моделі Пуанкаре даний коло зручно вважати одиничним колом на комплексній площині.

Для точок комплексної площині, як і для точок речовій прямий, можна розглянути подвійне ставлення  
У цьому випадку подвійне ставлення є, взагалі кажучи, комплексним числом.  
Неважко переконатися, що якщо точки Z і W лежать на хорді А B, a Z і W - Відповідні точки моделі Пуанкаре, то  
| [А, В, Z, W] | = | [А, В, Z , W ] | 2.  
Справді, стереографічна проекція є обмеженням просторової інверсії, тому вона зберігає подвійне ставлення. Крім того,  
 
AZ: ZB = = AC : BC  
Таким чином, | l п [А, В, Z, W] | = 2 | ln | [А, В, Z ', W'] | |.  
p (Z, W) = | l п [А, В, Z, W] |. Тому 
p (Z ', W') = 2 | ln | [А, В, Z ', W] | |.

За аналогією з нескінченним сімейством різних сферичних геометрії (для різних радіусів R ми отримуємо різні геометрії) можна отримати нескінченне сімейство геометрій Лобачевського, поклавши p (Z, W) = | L п [A, В, Z, W] |. Роль параметра с в геометрії Лобачевського в чому аналогічна ролі радіуса R у сферичній геометрії.

Метрикою ds площині Лобачевського в моделі Пуанкаре в одиничному колі є: , Де x і y - осі абсцис і ординат, відповідно.  
Аналогічно, в моделі Пуанкаре в кулі роль абсолюту виконує гранична сфера в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевського є внутрішність кулі. [6]

2. Моделі Пуанкаре на півплощини і в півпросторі

          У моделі Пуанкаре на півплощини за площину Лобачевського приймається верхня напівплощина. Пряма, що обмежує напівплощина (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують містяться в цій півплощині півкола з центрами на абсолюті і починаються на абсолюті перпендикулярні йому промені (тобто вертикальні промені). Роль рухів - перетворення, одержувані композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту.

Ця модель геометрії Лобачевського виходить, відображенням одиничного кола на верхню напівплощина Н = {х + i у | У> 0} за допомогою дробово лінійного відображення. Для цієї мети годиться, наприклад, відображення .  
Справді, ,

Тому

Дробово лінійні перетворення переводять прямі та кола в прямі та кола. Крім того, вони зберігають кути. Тому у верхній півплощині Н гіперболічними прямими є вертикальні промені і півкола, центри яких лежать на дійсній осі.

Дробово лінійні відображення зберігають подвійне ставлення, тому відстань між точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині визначається наступним чином. Нехай гіперболічна пряма АВ підходить до дійсної осі в точках X і Y (Рис. 15). Тоді  
р (А, В) = з | ln [A, B, X, Y] |.

У тому випадку, коли гіперболічна пряма є евклідовим променем, покладемо Y = тобто . Для позитивного променя уявної осі формула для обчислення гіперболічного відстані приймає особливо простий вигляд: p (ia, ib) = c | ln (a / b) |. [8]  
 
Рис. 15

З'ясуємо тепер, як влаштовані руху площині Лобачевського. Будь-яке дрібно-лінійне перетворення, що зберігає верхню напівплощина Н, є рухом площині Лобачевського. Нехай а, b, c, d . Легко перевірити, що відображення , Де ad - bc> 0, і , Де ad - bc <0, зберігають верхню напівплощина. Справді,  
Метрика ds площині Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд: .

Відповідно, в моделі Пуанкаре в півпросторі роль абсолюту виконує площину в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевського є лежаче на цій площині півпростір.

Введення тих чи інших координат дозволяє отримувати різні аналітичні моделі площини Лобачевского. А. Пуанкаре була запропонована (1887 рік) модель геометрії Лобачевського як геометрії плоских діаметральні перерізів на одній з порожнин двуполостного гіперболоїда, яку можна трактувати і як геометрію сфери чисто мнимого радіуса в псевдоевклідовом просторі. Зазначені моделі узагальнюються на випадок n-мірного простору.

 

Глава IV. Практичне застосування геометрії Лобачевского.

4.1. Теорема Піфагора.

Теорема. Для всякого прямокутного трикутника площини Лобачевского виконується рівність ch c = ch a - ch b, де a, b - довжини катетів, c - довжина гіпотенузи цього трикутника, а  ch x= x= (гіперболічний косинус).

Доказ. Скористаємося моделлю Пумнкаре площини Лобачевского на напівплощині Евкліда. Вважатимемо(див. малюнок нижче), що вершинам A, B, C цього прямокутного трикутника відповідають комплексні числа      де   
оскільки цього завжди можна добитися за допомогою деякого неевклідова рухи.

Используя формулу

 

Рис. 24

 

для обчислення неевклідова відстані між точками z і w в H2, отримуємо, що

Почленне перемножування двох перших співвідношень і приводить, як показує третє співвідношення, до завершення доведення теореми.

4.2. Зауваження до теореми Піфагора.

Н.И.Лобачевским було помічено, що створена ним геометрія НеЕвкліда в нескінченно малому, тобто в першому наближенні, співпадає з геометрією площини Евкліда. Проілюструємо це на прикладі теореми Піфагора. Використовуючи розкладання гіперболічного косинуса в ряд

 

отримаємо для теореми Піфагора співвідношення

 

Виключаючи тепер члени нижчого порядку, приходимо до теореми Піфагора геометрії Евкліда :

4.3. Площа трикутника.

Детальне виведення формули площі трикутника на площині Лобачевского приводити не варто  зважаючи на його складність(у нім використовується формули, доводжувані лише в курсі диференціальної геометрії).

Рис. 25

Якщо АВС - трикутник в моделі Пуанкре, заходи кутів А, В і З - α, β і γ відповідно  ,    - міра кута B в трикутнику ABD, а    і  міра кутів B і C в трикутнику BCD. Тоді внаслідок цього можна сформулювати теорему

Теорема.Для площі трикутника ABC з кутами справедлива формула 

Следствие1.Площа трикутника площини Лобачевского обмежена.

Слідство 2.Якщо даний опуклий багатокутник      з внутрішніми кутами               то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВИСНОВОК

Відкриття геометрії НеЕвкліда, почало якому поклав Лобачевский, не лише зіграло величезну роль в розвитку нових ідей і методів в математиці природознавстві, але має і філософське значення. Думка, що панувала до Лобачевского, про непорушність  геометрії Евкліда значною мірою грунтувалася на вченні відомого німецького філософа  И. Канта(1724-1804), родоначальника німецького класичного ідеалізму.

Кант стверджував, що людина упорядковує явища реального світу згідно з апріорними уявленнями, а геометричні представлення і ідеї нібито апріорні(латинське слово aprior  означає - спочатку, заздалегідь), тобто, не відбивають явищ дійсного світу, не залежать від практики, від досвіду, а є природженими людському світу, раз і назавжди зафіксованими, властивими людському розуму, його духу. Тому, Кант вважав, що геометрія Евкліда непохитна, незмінна, і є вічною істиною. Ще до Канта геометрія Евкліда вважалася непорушною, як єдине можливе вчення про реальний простір.

   Відкриття геометрії  НеЕвкліда довело, що не можна  абсолютировать уявлення про  простір, що "споживана"(як назвав  Лобачевский геометрію Евкліда) геометрія не є єдино можливою, проте це не підірвало непорушність  геометрії Евкліда. Итак, в основі геометрії Евкліда лежать не апріорні, природжені розуму поняття і аксіоми, а такі поняття, які пов'язані з діяльністю людини, з людською практикою. Тільки практика може вирішити питання про те, яка геометрія вірніше викладає властивості фізичного простору. Відкриття геометрії НеЕвкліда дало вирішальний поштовх грандіозному розвитку науки, сприяло і понині сприяє глибшому розумінню матеріального світу, що оточує нас.

Н.И. Лобачевский, як відомо, зробив спробу дослідження реального простору, використовуючи для цієї мети астрономічні дані. Він сподівався, що за допомогою астрономічних вимірів можна буде виявить відхилення геометрії реального простору від Евкліда. Хоча його обчислення не дозволили досвідченим  шляхом довести гіпотезу про неевклидовости реального простору, сама гіпотеза виявилася геніальним передбаченням.

З вище сказаного витікає органічний зв'язок між двома великими досягненнями людського розуму - геометрією Лобачевского і теорією відносності Ейнштейна. При цьому геометрія Лобачевского передувала теорії відносності не лише в часі, але і в ідейному відношенні.

Таким чином, аксіоматичний метод і аксіоматичні дослідження Лобачевского зіграли величезну роль в розвитку геометрії як науки, а також знайшли своє відображення і в теорії пізнання, тобто переоцінити їх значення неможливо.