Экономико-математические модели и методы проектного менеджмента

 

Продовж. табл. 3.13

Варіант 4	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	85	86	79	72	66	69	70	82	76	78
Варіант 5	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	97	84	80	72	90	69	70	68	89	78
Варіант 6	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	65	86	79	72	66	69	70	82	65	78
Варіант 7	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	87	86	65	72	89	69	64	82	87	78
Варіант 8	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	64	85	79	72	66	86	70	75	65	78
Варіант 9	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	77	86	79	72	76	85	70	82	65	78
Варіант 10	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	65	64	79	72	66	63	70	82	65	78
Варіант 11	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	97	86	79	72	81	85	70	82	89	78
Варіант 12	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	78	86	62	64	66	85	70	82	89	78
Варіант 13	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	99	74	76	72	67	69	70	82	89	78
Варіант 14	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	75	73	79	72	66	69	70	82	76	78
Варіант 15	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	97	84	80	72	90	69	70	79	91	96

 

Продовж. табл. 3.13

Варіант 16	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	88	86	79	70	66	69	70	82	65	78
Варіант 17	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	77	79	74	72	89	69	64	82	87	78
Варіант 18	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	84	85	82	72	66	86	70	75	65	78
Варіант 19	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	77	86	79	72	76	85	66	82	80	78
Варіант 20	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	88	86	80	72	66	63	70	82	65	78
Варіант 21	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	63	70	82	65	78	69	70	82	89	78
Варіант 22	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	78	86	79	65	78	69	70	82	89	78
Варіант 23	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	99	86	76	72	90	99	86	76	89	78
Варіант 24	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	85	99	86	76	66	69	70	82	76	78
Варіант 25	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	70	82	76	72	90	69	70	68	89	78
Варіант 26	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	90	87	82	85	93	86	81	87	88	91
Варіант 27	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	85	90	88	83	87	91	90	81	86	92

 

Продовж. табл. 3.13

Варіант 28	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	88	86	79	70	66	69	60	52	65	78
Варіант 29	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	83	79	74	72	89	69	64	62	87	78
Варіант 30	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	84	85	78	72	90	86	70	65	95	78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4

 

ОПТИМІЗАЦІЙНІ   МОДЕЛІ  І  МЕТОДИ   ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

 

Мета заняття: Отримати відомості про правила і етапи розв’язання оптимізаційних задач лінійного програмування з використанням сервісних функцій Excel; навчитися знаходити оптимальне рішення задачі лінійного програмування та задачі цілочисельного програмування.

План:

1. Знаходження оптимального рішення задачі лінійного програмування.
2. Знаходження оптимального рішення задачі цілочисельного програмування.

 

1. Теоретичні відомості

 

Лінійне програмування (ЛП) – це метод математичного моделювання, розроблений для оптимізації використовування обмежених ресурсів. ЛП успішно застосовується в економіці, сільському господарстві, транспортній галузі, системі медичного обслуговування, військовій області та соціальній сфері.

Модель ЛП складається з лінійної функції, що підлягає оптимізації, та системи лінійних обмежень, яким винні задовольняти змінні. Тому побудова моделі для задачі ЛП включає такі етапи:

1. задати сукупність змінних;
2. задати цільову функцію, що лінійно залежить від обраної сукупності змінних і відображає мету моделювання;
3. записати обмеження, при яких досягається мета, за допомогою сукупності лінійних рівнянь або нерівностей.
4. сформулювати оптимізаційну задачу математично.

Отже, модель задачі ЛП має  вигляд:

           (1)

            (2)

де 

- задані константи,

Функція (1) являє собою формалізоване описання критерію оптимальності задачі і називається цільовою функцією. Кожний набір значень змінних, який є розв’язком системи обмежень (2), називається допустимим розв’язком або допустимим планом задачі ЛП. Допустимий розв’язок, при якому цільова функція набуває екстремуму, називається оптимальним розв’язком або оптимальним планом. Математично задача ЛП є задачею знаходження такого набору значень змінних, що задовольняє заданої системі лінійних обмежень (2) та при якому цільова функції (1) досягає максимального (мінімального) значення.

 

2. Алгоритм  знаходження оптимального розв’язку задачі лінійного програмування

 

Приклад. Перед інвестором стоїть проблема ухвалення рішення про вкладення наявного в нього капіталу з метою отримання найбільшого сумарного прибутку. Набір характеристик потенційних об’єктів інвестування, що мають умовні назви А, В, С, D, E, F представлені в таблиці 4.1.

Таблиця 4.1

Назва об’єкту	А	В	С	D	E	F
Прибутковість, в %	5,5	6,0	8,0	7,5	5,5	7,0
Термін викупу, рік	2010	2014	2019	2011	2009	2012
Надійність, бали	5	4	2	3	5	4

 

Інвестор вимагає дотримання таких умов інвестування:

• сумарний обсяг капіталу, що повинний бути вкладений, складає 100000 у. од.;
• частка засобів, вкладених в один об’єкт, не може перевищувати чверті від всього обсягу;
• більш половини всіх засобів повинні бути вкладені в довгострокові активи (з терміном погашення після 2012 року);
• частка активів, що мають надійність менше 4 балів, не може перевищувати третини від сумарного обсягу.

 

Розв’язок

 

1. Складемо економіко-математичну модель наданої оптимізаційної задачі.

Будемо вважати змінними обсяги засобів, вкладених в активі того чи іншого об’єкта. Позначимо  їх . Сумарний прибуток від розміщених активів, що одержить інвестор, позначимо . Тоді . Складемо систему обмежень за умов задачі.

Обмеження на сумарний обсяг  активів:

.

Обмеження на розмір частки кожного активу:

.

Обмеження, пов’язані  з необхідністю вкладати половину засобів  у довгострокові активи:

.

Обмеження на частку активів  з надійністю менше 4 балів:

.

У силу економічного змісту задачі, шукані змінні повинні задовольняти умові невід’ємності:

.

Умову максимальності прибутку від інвестування можна записати у вигляді:

.

Отже, математична модель задачі складається з лінійної функції, максимум якої необхідно знайти, та системи лінійних обмежень:

         (3)

                                                                                                      (4)

Постановка  задачі: знайти такі значення змінних ( ), які задовольняють системі лінійних обмежень (4) і при яких лінійна функція (3) досягатиме максимуму.

 

2. Знайдемо оптимальний розв’язок оптимізаційної задачі засобами Excel

Запишемо у лист Excel умови задачі (рис.4.1).

В екранній формі на рисунку 4.1 кожній змінній і кожному коефіцієнту  задачі поставлені у відповідність  певні чарунки Excel. Так, змінним задачі відповідають чарунки B4 – G4, коефіцієнтам цільової функції відповідають чарунки B8 – G8, коефіцієнтам і правим частинам обмежень – чарунки G13 – L21 та O13 – O21 відповідно.