Экономико-математические модели и методы проектного менеджмента

;   

6. Дамо прогноз об’єму продаж на наступні два квартали:

Прогноз об’єму продаж в 12 кварталі: (1,9+1,1*12)+(-0,9)=14,2 тис. грн.

Прогноз об’єму продаж в 13 кварталі: (1,9+1,1*13)+2=18,2 тис. грн.

 

 

3. Алгоритм побудови та аналізу мультиплікативної моделі

 

Приклад: В таблиці 3.6 вказаний об’єм продаж (тис. грн.) за 11 кварталів. На основі цих даних надати прогноз на наступні 2 квартали.

Таблиця 3.6

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Об’єм продаж	63	74	79	120	67	79	88	130	69	82	90

Розв’язок

Побудуємо мультиплікативну модель за формулою:

фактичне значення А = трендове значення Т 

сезонна варіація S похибка Е

1. Перш за все виключимо вплив сезонної варіації. Користуємось методом ковзкої середньої. Для зручності обчислень заповнимо таблицю 3.7.

Таблиця 3.7

Квартал	Об’єм продаж	Ковзка середня  за 4 квартали	Центрована  ковзка середня	Оцінка сезонної варіації
1	63	-	-	-
2	74	-	-	-
3	79	84	84,5	0,935
4	120	85	85,625	1,401
5	67	86,25	87,375	0,767
6	79	88,5	89,75	0,880
7	88	91	91,25	0,964
8	130	91,5	91,875	1,415
9	69	92,25	92,5	0,746
10	82	92,75	-	-
11	90	-	-	-

Центрована ковзка середня  обчислюється аналогічно тому, як вона обчислювалася для адитивної  моделі. Оцінка сезонної варіації (5-й  стовпець) – це частка від ділення фактичних даних на відповідні центровані ковзкі середні (2-й стовпець / 4-й стовпець).

2. Знайдемо сезонну варіацію для кожного з чотирьох кварталів року. Для зручності результати обчислень оформимо у вигляді таблиці 3.8.

Таблиця 3.8

	Номер кварталу
	1	2	3	4
Оцінки сезонної варіації	-	-	0,935	1,401
	0,767	0,880	0,964	1,415
	0,746	-	-	-	Сума
Середнє	0,756	0,880	0,950	1,408	3,994
Скоректована сезонна варіація	0,757	0,881	0,952	1,410	4,0

Оцінки сезонної варіації запишемо у стовпцях під відповідним номером кварталу. У кожному стовпці обчислюємо середнє значення. Обчислюємо суму середніх значень (у даному прикладі вона дорівнює 3,994). Значення сезонної варіації повинні бути скоректовані так, щоб сума середніх значень дорівнювала 4 (4 долі від чотирьох кварталів – усереднена варіація за рік). Для цього знаходимо коректувальний коефіцієнт: 4 ділимо на суму середніх; та множимо усі середні на цей коефіцієнт.

3. Виключимо сезонну варіацію із фактичних даних (таблиця 3.9).

Таблиця 3.9

Квартал	Об’єм продаж А	Сезонна варіація S	Десезонолізований об’єм продаж A/S=T*E
1	63	0,757	83,176
2	74	0,881	83,953
3	79	0,951	83,074
4	120	1,410	85,096
5	67	0,757	88,457
6	79	0,881	89,626
7	88	0,951	92,538
8	130	1,410	92,188
9	69	0,757	91,098
10	82	0,881	93,029
11	90	0,951	94,641

Фактичні дані (2-й стовпець) ділимо на сезонну варіацію (3-й стовпець) і записуємо результат в 4-й стовпець.

4. Знайдемо рівняння тренду у вигляді лінійної регресійної моделі: Т=ах+в

Для знаходження коефіцієнтів користуємось статистичними функціями ОТРЕЗОК та НАКЛОН майстра функцій із пакету Excel. Отримаємо: а=1,2; в=81,6. Отже, трендові значення об’єму продаж = 81,6 + 1,2 номер кварталу.

5. Розрахуємо похибки обчислень. Для зручності результати обчислень оформимо у вигляді таблиці 3.10.

Таблиця 3.10

Квартал	Об’єм продаж А	Десезонолізований об’єм продаж A/S=T*E	Трендові значення	Похибка еt
1	63	83,176	82,8	0,4	0,4	0,16
2	74	83,953	84	0,0	0,0	0,00
3	79	83,074	85,2	-2,2	2,2	4,84
4	120	85,096	86,4	-1,3	1,3	1,69
5	67	88,457	87,6	0,9	0,9	0,81
6	79	89,626	88,8	0,9	0,9	0,81
7	88	92,538	90	2,4	2,4	5,76
8	130	92,188	91,2	1,0	1,0	1,00
9	69	91,098	92,4	-1,3	1,3	1,69
10	82	93,029	93,6	-0,5	0,5	0,25
11	90	94,641	94,8	-0,3	0,3	0,09
Сума					11,2	17,10

;    - похибки складають приблизно 1%.

6. Дамо прогноз об’єму продаж на наступні два квартали:

Прогноз об’єму продаж в 12 кварталі: (81,6+1,2 12) 1,41=135,4 тис. грн.

Прогноз об’єму продаж в 13 кварталі: (81,6+1,2 13) 0,757=73,6 тис. грн.

 

4. Алгоритм методу експоненційного згладжування

Приклад: В таблиці 3.11 вказаний об’єм продаж (тис. грн.) за 11 кварталів. На основі цих даних надати прогноз на наступні 2 квартали.

Таблиця 3.11

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Об’єм продаж	4	5	5	6	9	9	8	10	11	13	16

 

Розв’язок

Побудуємо модель експоненційного згладжування за формулою:

Новий прогноз = α

фактичний результат в останній період +

+ (1-α)

прогноз в останній період

Нехай α = 0,8, тоді 1-α=0,2. Перший прогноз обираємо рівним першому фактичному значенню, далі користуємось формулою експоненційного згладжування.

Експоненційне згладжування зручно проводити за допомогою сервісних функцій Excel. Необхідно викликати Сервис – Аналіз данных – Экспоненциальное сглаживание – ОК. У графі Фактор затухания вказати значення 1-α (стандартне значення 0,3).

Для зручності аналізу результати обчислень оформимо у вигляді        таблиці 3.12.

Таблиця 3.12

Квартал	Об’єм продаж	Прогноз
1	4	4
2	6	4
3	4	5,6
4	5	4,32
5	10	4,864
6	8	8,9728
7	7	8,19456
8	9	7,238912
9	12	8,6477824
10	14	11,32955648
11	15	13,4659113
12		13,77

Похибка прогнозу обчислюється аналогічно адитивної і мультиплікативної моделям.

5. Контрольні питання

 

1. Що таке тренд?
2. Що таке сезонна варіація?
3. Як розраховується ковзке середнє?
4. Який алгоритм побудови адитивної моделі?
5. Який алгоритм побудови мультиплікативної моделі?
6. Який алгоритм експоненційного згладжування?
7. Як здійснюється прогноз за методом експоненційного згладжування?
8. Яким чином константа згладжування впливає на прогноз?
9. Як розраховується помилка прогнозу?
10. Як обґрунтовується оптимальність моделі для прогнозування?

 

6. Варіанти завдання для самостійного виконання

 

В таблиці 3.13 вказаний об’єм  продаж (тис. грн.) за 10 кварталів. На основі цих даних побудувати адитивну, мультиплікативну моделі і модель експоненційного  згладжування. Обрати оптимальну для  прогнозування модель. Надати прогноз об’єму продаж на наступні 2 квартали.

Таблиця 3.13

Варіант 1	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	97	86	79	72	66	69	70	82	89	78
Варіант 2	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	78	86	79	72	66	85	70	82	89	78
Варіант 3	Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Об’єм продаж	99	86	76	72	90	69	70	82	89	78