Экономико-математические модели и методы проектного менеджмента

;  ;  , де - значення Y, отримані за побудованою моделлю.

Відповідність моделі експериментальним  даним моделі визначається за критерієм Фішера F_кр = F_кр( ), тобто при ступенях свободи, де n – кількість наглядів, l – кількість груп у кореляційній таблиці або кількість параметрів моделі у випадку незгрупованих даних; - рівень значимості, звичайно обирається рівним 0,05; 0,01 або 0,001. Якщо статистика

  > F_кр ,

то модель є статистично значимою на рівні значимості (наприклад, якщо =0,05, то 95% даних пояснюються побудованою моделлю, 5% – випадкові помилки моделі).

 

2. Алгоритм  побудови нелінійної регресійної моделі

 

Приклад: Вивчається залежність вартості акцій деякого підприємства       (Y, тис. грн.) від темпу зростання внутрішнього валового продукту (Х, %.). Відповідні дані представлені в таблиці 2.1. Визначити вид нелінійної кореляційної залежності Y від Х, побудувати економіко-математичну модель. Надати відповіді на запитання: яка вартість акцій підприємства, якщо темп зростання ВВП дорівнює 10,5%? Який темп зростання ВВП забезпечить вартість акцій у 100 тис. грн.?

Таблица 2.1

Х	3	8	10	2	9	4	5	6	7	12
Y	58	70	95	52	80	59	60	64	66	130

 

Розв’язок

 

1. Побудуємо статистичний ряд, відповідний даним таблиці 2.1 (табл. 2.2)

Таблица 2.2

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12
	52	58	59	60	64	66	70	80	95	130

 

2.  Побудуємо емпіричну лінію регресії Y  на X.   За допомогою сервісних функцій Excel отримаємо діаграму (рис. 2.1):

Рис. 2.1. Емпірична лінія регресії

Між Х і Y існує нелінійна залежність, проте її тип за виглядом емпіричної лінії регресії не ідентифікується. Побудуємо параболічну, гіперболічну і показникову регресійні моделі та виберемо найбільш адекватну.

 

3. Побудуємо параболічну регресійну модель

Припустимо, що має місце  параболічна залежність Y від Х виду: .

Побудуємо розрахункову таблицю для визначення коефіцієнтів а, b і с рівняння регресії (табл. 2.3).

Таблиця 2.3

Розрахункова  таблиця для визначення параметрів											суми
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	66
	52	58	59	60	64	66	70	80	95	130	734
	4	9	16	25	36	49	64	81	100	144	528
	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	1728	4752
	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561	10000	20736	46068
	104	174	236	300	384	462	560	720	950	1560	5450
	208	522	944	1500	2304	3234	4480	6480	9500	18720	47892

Складемо систему рівнянь  для визначення вказаних параметрів і розв’яжемо її за правилом Крамера. Для обчислення визначників скористуємось вбудованою функцією Excel МОПРЕД (викликаємо Функции – Математические – МОПРЕД, у графі Массив вказуємо матрицю, визначник якої потрібно знайти). Отримаємо:

;             ;

;   

;   ;  

Отже, якщо між Y та Х має місце параболічна залежність, то вона виражається рівнянням регресії:  .

 

4. Побудуємо гіперболічну регресійну модель

Припустимо, що має місце гіперболічна залежність Y від Х виду . Побудуємо розрахункову таблицю для визначення коефіцієнтів а і b рівняння регресії (табл. 2.4).

Складемо систему рівнянь  для визначення вказаних параметрів і розв’яжемо її за правилом Крамера. Для обчислення визначників скористуємось вбудованою функцією Excel МОПРЕД.

Таблиця 2.4

Розрахункова  таблиця для визначення параметрів											суми
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	66
	52	58	59	60	64	66	70	80	95	130	734
	0,50	0,33	0,25	0,20	0,17	0,14	0,13	0,11	0,10	0,08	2,0123
	0,25	0,11	0,06	0,04	0,03	0,02	0,02	0,01	0,01	0,01	0,5567
	26,00	19,33	14,75	12,00	10,67	9,43	8,75	8,89	9,50	10,83	130,15

Отримаємо:

;              ;

;

;   .

Отже, якщо між У та Х має місце гіперболічна залежність, то вона виражається рівнянням регресії:                                          .

 

5. Побудуємо показникову регресійну модель

Припустимо, що має місце показникова залежність Y від Х виду  .

Побудуємо розрахункову таблицю для визначення коефіцієнтів а і b рівняння регресії (табл. 2.5).

 

Таблиця 2.5

Розрахункова  таблиця для визначення параметрів											суми
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	66
	52	58	59	60	64	66	70	80	95	130	734
	4	9	16	25	36	49	64	81	100	144	528
	3,95	4,06	4,08	4,09	4,16	4,19	4,25	4,38	4,55	4,87	42,58
	7,90	12,18	16,31	20,47	24,95	29,33	33,99	39,44	45,54	58,41	288,522

Складемо систему рівнянь  для визначення логарифмів від вказаних параметрів і розв’яжемо її за правилом Крамера. Отримаємо:

;              ;

;

;   ;

;    .

Отже, якщо між Y та Х має місце показникова залежність, то вона виражається рівнянням регресії: .

 

6. Перевіримо  адекватність побудованих моделей

Для перевірки адекватності моделей обчислимо для кожної з них величини ,  та статистику . Результати обчислень оформимо у вигляді таблиці (табл. 2.6).

Середнє значення знайдемо за формулою:   .

 

Таблиця 2.6

Розрахункова таблиця  для перевірки адекватності моделей

Початкові дані		Параболічна модель			Гіперболічна  модель			Показникова модель
2	52	57,91	239,94	34,93	38,85	1193,81	172,96	48,37	626,47	13,17
3	58	55,55	318,62	6,00	58,12	233,40	0,02	52,24	447,73	33,17
4	59	55,25	329,42	14,06	67,76	31,81	76,73	56,42	288,34	6,66
5	60	57,01	268,63	8,94	73,54	0,02	183,39	60,93	155,43	0,87
6	64	60,83	158,00	10,05	77,40	15,97	179,48	65,81	57,64	3,27
7	66	66,71	44,76	0,50	80,15	45,57	200,23	71,07	5,42	25,73
8	70	74,65	1,56	21,62	82,22	77,71	149,22	76,76	11,28	45,67
9	80	84,65	126,56	21,62	83,82	108,61	14,60	82,90	90,23	8,40
10	95	96,71	543,36	2,92	85,11	137,04	97,88	89,53	260,20	29,91
12	130	127,01	2874,03	8,94	87,03	185,88	1846,08	104,43	962,77	653,90
Суми		–	4904,89	129,60	–	2029,82	2920,59	–	2905,50	820,76
F-статистика