Линейное программирование

	1	39.68	4.424	108.9
	0	1	5091/33970	-1305/6794
	0	4.0728	1.13984	-0.896

 

 
от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 39.68; 4.0728

	1	0	-129319/84925	791649/6794
	0	1	5091/33970	-1305/6794
	0	0	899287/1698500	-38621/339700

 

 
3-ую строку делим  на 899287/1698500

	1	0	-129319/84925	791649/6794
	0	1	5091/33970	-1305/6794
	0	0	1	-193105/899287

 

 
от 1; 2 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на -129319/84925; 5091/33970

	1	0	0	1044924761/8992870
	0	1	0	-143796/899287
	0	0	1	-193105/899287

 

Ответ:

	a = 1044924761/8992870
	b1 = -143796/899287
	b2 = -193105/899287

 
Уравнение регрессии Y = 116,19-0,16X1-0,21X2

 

При заданных показателях котировка акций будет равна = 116,19-0,16*33,5-0,21*3 = 110,2

 

Задание № 6. Анализ зависимостей в слабых шкалах

(10 баллов)

1. Имеется таблица сопряженности  о зависимости количества товаров в корзине покупателя по данным маркетингового обследования. Требуется проверить наличие зависимости количества товаров от пола покупателя с помощью таблиц сопряженности.

Пол	Количество товаров в корзине покупателя
	Корзина пуста	В корзине только один товар	В корзине два и более товара
Мужской	88	122	276
Женский	164	147	300

 

 

Для проверки независимости признаков «A» и «B» проверяем нулевую гипотезу Н0:(pij = pi*p*j для всех i, j).

Таблица сопряженности теоретических частот распределения: 

Пол	Количество товаров в корзине покупателя
	Корзина пуста	В корзине только один товар	В корзине два и более товара	ВСЕГО
Мужской	111,6427	119,1741	255,1832	486
Женский	140,3573	149,8259	320,8168	611
ВСЕГО	252	269	576	1097

 

Вычислим статистику χ2 набл по формуле: 
 
где nij – наблюдаемые частоты. 
Если значение χ2набл попало в критическую область: χ2> χ2крит(α ; v=2), нулевая гипотеза отвергается с вероятностью ошибки α и признаки считаются зависимыми. 
В этом случае имеет смысл измерить полученную связь между X и Y с помощью коэффициентов связи (сопряженности). 
Вычислим статистику χ2:

=5,006827+0,067008+1,698145+3,982517+0,0533+1,350734=12,15853     
По таблице χ2-распределения находим:

χ2крит(0.05;2) = 5.99

где v = (r-1)(s-1) = (2-1)(3-1) = 2 - число степеней свободы.

Критическая область имеет вид χ2 > χ2крит.

Так как вычисленное значение хи-квадрат попадает в критическую область, то гипотеза о независимости количества товаров от пола покупателя с помощью таблиц сопряженности отвергается с вероятностью ошибки 0,05.

 
7. Теория игр (15 баллов)

6. Найти оптимальные стратеги  игроков и цену игры по заданной матрице .

Решение:

 

ИГРОКИ	Стратегии "B"
Стратегии "A"	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	24	0	2	0
A2	0	8	3	0
A3	4	5	6	4*
b = max(Bi)	24*	8	6

 

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.

Верхняя цена игры β — это минимальный проигрыш, который может гарантировать себе игрок "В", в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры он будет использовать одну и только одну стратегию.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.

Для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 6 ( игрок "B") должен придерживаться стратегии B3.

Это свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 4 ≤ y ≤ 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. 

Смешанная стратегия, это чередуемые случайным образом чистые стратегии, с определенными вероятностями (частотами).

Смешанную стратегию игрока "А" будем обозначать

SA =	A1 A2 A3 p1 p2 p3

где A1, A2, A3 - стратегии игрока "A", а p1, p2, p3 - соответственно вероятности (частоты), с которыми эти стратегии применяются, причем p1 + p2 + p3 = 1.

Аналогично смешанную стратегию игрока "В" будем обозначать

SB =	B1 B2 B3 q1 q2 q3

где B1, B2, B3 - стратегии игрока "B", а q1, q2, q3 - соответственно вероятности, с которыми эти стратегии применяются, причем q1 + q2 + q3 = 1.

Оптимальная смешанная стратегия для игрока "А" та, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш. Соответственно для "B" - минимальный проигрыш. Обозначаются эти стратегии  SA* и SB* соответственно. Пара оптимальных стратегий образует решение игры.

В общем случае в оптимальную стратегию игрока могут входить не все исходные стратегии, а только некоторые из них. Такие стратегии называются активными стратегиями.

Из теории игр известно, что если игрок "А" в своей оптимальной смешанной стратегии использует не более чем N активных стратегий, то и оптимальная стратегия игрока "B" состоит не более чем из N активных стратегий. В нашем случае у обоих игроков одинаковое число стратегий поэтому можем предположить что все они, для обеих сторон, являются активными. Игры такого класса называются полностью усредненными. А из теории игр известно, что если игрок "А" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "B" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "В" использует свои активные стратегии. Поэтому если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B1, то средний выигрыш v составит:

k11p1 + k21p2 + k31p3 = v    (1)

где:  kij - элементы платежной матрицы. 
 
Аналогичные уравнения можно составить и для всех остальных стратегий игрока "В", предполагая что он будет пользоваться каждой из них в чистом виде. 

k12p1 + k22p2 + k32p3 = v    ( 2 ) 
k13p1 + k23p2 + k33p3 = v    ( 3 )

Кроме того, если учесть, что: 

p1 + p2 + p3 = 1    ( 4 )

В итоге мы имеем 4 уравнений содержащих 4 неизвестных, если после решения системы из данных уравнений мы получим осмысленные значения вероятностей ( в диапазоне от нуля до единицы ), то предположение о том что данная задача является полностью усредненной верно и оптимальная стратегия для "A" будет найдена.

Перенесем переменную v влево от знака равенства и решим систему из уравнений 1…4 методом Гаусса-Жордана.

---

 

Сформируем расширенную матрицу : 

24 0 4 -1   0 0 8 5 -1   0 2 3 6 -1   0 1 1 1 0   1

 

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

 

Итерация:2 Разделим строку 1 на 24 a1,1 =   Получим матрицу :   1 0 1   6 -1   24   0 0 8 5 -1   0 2 3 6 -1   0 1 1 1 0   1		Итерация:3 Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на 2   a3,1=   Вычитаемая строка :   2 0 1   3 -1   12   0                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 -1   24   0 0 8 5 -1   0 0 3 17   3 -11   12   0 1 1 1 0   1		Итерация:4 Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на 1 a4,1=   Вычитаемая строка :   1 0 1   6 -1   24   0                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 -1   24   0 0 8 5 -1   0 0 3 17   3 -11   12   0 0 1 5   6 1   24   1
Итерация:5 Разделим строку 2 на 8 a2,2 =   Получим матрицу :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 -1   8   0 0 3 17   3 -11   12   0 0 1 5   6 1   24   1		Итерация:6 Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на 3 a3,2=   Вычитаемая строка :   0 3 15   8 -3   8   0                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 -1   8   0 0 0 91   24 -13   24   0 0 1 5   6 1   24   1		Итерация:7 Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на 1 a4,2=   Вычитаемая строка :   0 1 5   8 -1   8   0                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 -1   8   0 0 0 91   24 -13   24   0 0 0 5   24 1   6   1
Итерация:8 Разделим строку 3 на 91/24а a3,3 = Получим матрицу :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 -1   8   0 0 0 1 -1   7   0 0 0 5   24 1   6   1		Итерация:9 Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на 5/24 a4,3=   Вычитаемая строка :   0 0 5   24 -5   168   0                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 -1   8   0 0 0 1 -1   7   0 0 0 0 11   56   1		Итерация:10 Разделим строку 4 на 11/56 a4,4 =   Получим матрицу :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 -1   8   0 0 0 1 -1   7   0 0 0 0 1   56   11
Итерация:11 Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную        -1/7 на a3,4=   Вычитаемая строка :   0 0 0 -1   7   -8   11                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 -1   8   0 0 0 1 0   8   11 0 0 0 1   56   11		Итерация:12 Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на – 1/8 a2,4=   Вычитаемая строка:   0 0 0 -1   8   -7   11                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 -1   24   0 0 1 5   8 0   7   11 0 0 1 0   8   11 0 0 0 1   56   11		Итерация:13 Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на -1/24 a1,4=   Вычитаемая строка:   0 0 0 -1   24   -7   33                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 0   7   33 0 1 5   8 0   7   11 0 0 1 0   8   11 0 0 0 1   56   11
Итерация:14 Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на 5/8 a2,3=   Вычитаемая строка :   0 0 5   8 0   5   11                 Модифицированная матрица :   1 0 1   6 0   7   33 0 1 0 0   2   11 0 0 1 0   8   11 0 0 0 1   56   11		Итерация:15 Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на 1/6 a1,3=   Вычитаемая строка :   0 0 1   6 0   4   33                 Модифицированная матрица :   1 0 0 0   1   11 0 1 0 0   2   11 0 0 1 0   8   11 0 0 0 1   56   11

Из последней матрицы выпишем все найденные переменные 
 
p1 = 1/11 , p2 = 2/11 , p3 = 8/11 , v = 56/11 
Найденные значения вероятностей не противоречат гипотезе о том, что данная задача является полностью усредненной.  

Рассуждая аналогично, только относительно игрока "В", можно сказать, что если игрок "В" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "А" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "А" использует свои активные стратегии. Это позволит составить ряд следующих уравнений: 

k11q1 + k12q2 + k13q3 = v    ( 5 ) 
k21q1 + k22q2 + k23q3 = v    ( 6 ) 
k31q1 + k32q2 + k33q3 = v    ( 7 )

q1 + p2 + p3 = 1    ( 8 )

 
Так как значение v нам уже известно, то имеем 4 уравнений содержащих 3 неизвестных. Решим систему из уравнений 5…8 методом Гаусса-Жордана. 

---

 
 
Итерация:1 
Сформируем расширенную матрицу : 

24 0 2   56   11 0 8 3   56   11 4 5 6   56   11 1 1 1   1

 

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

 

Итерация:2 Разделим строку 1 на 24 a1,1 =   Получим матрицу :   1 0 1   12   7   33 0 8 3   56   11 4 5 6   56   11 1 1 1   1		Итерация:3 Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a3,1= 4 Вычитаемая строка :   4 0 1   3   28   33               Модифицированная матрица :   1 0 1   12   7   33 0 8 3   56   11 0 5 17   3   140   33 1 1 1   1		Итерация:4 Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на 1 a4,1=   Вычитаемая строка :   1 0 1   12   7   33               Модифицированная матрица :   1 0 1   12   7   33 0 8 3   56   11 0 5 17   3   140   33 0 1 11   12   26   33
Итерация:5 Разделим строку 2 на 8 a2,2 =   Получим матрицу :   1 0 1   12   7   33 0 1 3   8   7   11 0 5 17   3   140   33 0 1 11   12   26   33		Итерация:6 Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на 5 a3,2=   Вычитаемая строка :   0 5 15   8   35   11               Модифицированная матрица :   1 0 1   12   7   33 0 1 3   8   7   11 0 0 91   24   35   33 0 1 11   12   26   33		Итерация:7 Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на 1 a4,2=   Вычитаемая строка :   0 1 3   8   7   11               Модифицированная матрица :   1 0 1   12   7   33 0 1 3   8   7   11 0 0 91   24   35   33 0 0 13   24   5   33
Итерация:8 Разделим строку 3 на 91/ 24 a3,3 =   Получим матрицу :   1 0 1   12   7   33 0 1 3   8   7   11 0 0 1   40   143 0 0 13   24   5   33		Итерация:9 Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на 13 /24 a4,3=   Вычитаемая строка :   0 0 13   24   5   33               Модифицированная матрица :   1 0 1   12   7   33 0 1 3   8   7   11 0 0 1   40   143 0 0 0   0		Итерация:10  4-ю строку из матрицы удалим (она обнулилась).  Редуцированная матрица :   1 0 1   12   7   33 0 1 3   8   7   11 0 0 1   40   143
Итерация:11 Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на 3/8 a2,3=   Вычитаемая строка :   0 0 3   8   15   143               Модифицированная матрица :   1 0 1   12   7   33 0 1 0   76   143 0 0 1   40   143		Итерация:12 Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на 1 /12 a1,3=   Вычитаемая строка :   0 0 1   12   10   429               Модифицированная матрица :   1 0 0   27   143 0 1 0   76   143 0 0 1   40   143

---

Из последней матрицы выпишем все найденные переменные

q1 = 27/143 , q2 = 76/143 , q3 = 40/143

Так как все найденные вероятности имеют осмысленные значения, то данная задача действительно является полностью усредненной. 

---

Ответ:

Нижняя цена игры :	α =	4
Верхняя цена игры :	β =	6
Цена игры :	v =	56   11

Оптимальная стратегия игрока "А" :	SA* =   A1 A2 A3 1   11 2   11 8   11
Оптимальная стратегия игрока "B" :	SB* =   B1 B2 B3 27   143 76   143 40   143