Метод линейного программирования

Метод линейного программирования

Задачу управления отмечает особенность: возможность не одного, а множества различных решений. Это обусловлено наличием в указанных задачах множества способов организации какого-либо процесса, приводящих к достижению определенной цели. Тем не менее задачу управления можно ставить как задачу нахождения хотя бы одного из возможных способов достижения поставленной цели. Но такая постановка вопроса обычно бывает недостаточной. Следует вести речь о множестве решений и выбирать то из них, которое с некоторой принятой точки зрения является наилучшим.

При рассмотрении вариантов  решения можно наложить на них  добавочные требования, степень выполнения которых будет служить основанием для выбора. Очевидно, что достижение цели требует определенных ресурсов (финансовых, материальных, временных, энергетических и т.п.), и для каждого варианта достижения целевых установок необходимы разные объемы этих ресурсов. Поэтому в большинстве случаев выбирают тот вариант, который обеспечивает достижение цели с наименьшими затратами. Иногда основанием для выбора управленческого варианта выступают ограничения, налагаемые на систему управления (надежность, наличие финансовых средств и т.п.). Здесь необходимо решать задачи оптимизации, т.е. находить минимальное или максимальное значение выбранного критерия управления при наличии определенных ограничений.

Для более наглядного представления возможных ограничений  вспомним о том, что управление предприятием осуществляется при наличии определенных ограничений спроса на рынке, на производственные мощности, технологические процессы и т.п. В общем случае можно при управлении предприятием выделить два вида ограничений:

• законы и условия природы и другой внешней среды, в которых осуществляется управление;
• ограниченность ресурсов, используемых при управлении, которые в силу особенностей той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов.

При математической формулировке задачи управления эти ограничения представляются обычно алгебраическими, дифференциальными или разностными уравнениями или неравенствами, связывающими переменные, описывающие состояние системы. Задачу управления можно считать сформулированной математически, если: сформулирована цель управления, выраженная через критерий управления; определены ограничения первого вида, представляющие собой системы дифференциальных или разностных уравнений, определяющих возможные способы развития системы; определены ограничения второго вида, представляющие собой систему алгебраических уравнений или неравенств, выражающих ограниченность . ресурсов или иных величин, используемых при управлении.

Управление, которое удовлетворяет  всем поставленным ограничениям и обращает в минимум (максимум) критерий управления, называют обычно оптимальным управлением. Линейное программирование является составной частью теории оптимизации, изучающей методы нахождения условного экстремума функций многих переменных.

Наличие компьютерной техники  и программного обеспечения создали  в настоящее время реальные предпосылки широкого использования метода линейного программирования для целей исследования СУ и принятия оптимальных управленческих решений. Данный метод достаточно глубоко проработан и широко проверен на практике при решении различных задач оптимального планирования.

ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА

С приемлемой точностью  методом линейного программирования может решаться задача выбора рационального  типа оргтехники и определения оптимальной  потребности в таких средствах. Его применение позволяет проводить расчеты по различным критериям оптимизации выбираемых типов оргтехники с соответствующими целевыми функциями. Наиболее целесообразными и необходимыми критериями оптимизации при решении такой задачи могут быть:

• максимум выполняемой работы на рубль годовых приведен ных затрат или минимум годовых приведенных затрат на единицу выполняемой работы;
• минимум годовых приведенных затрат;
• максимум производительности;
• максимум единовременных затрат;
• минимум занимаемой площади.

Целевая функция, если принять  в качестве критерия оптимальности минимума годовых приведенных затрат 3, для случая с четырьмя типами оргтехники X_h Х₂, Х₃, Х₄, из числа которых должен осуществляться выбор, будет иметь следующий вид:

В зависимости от условий  ограничения могут быть наложены на средства для приобретения техники, занимаемую площадь, производительность, массу, потребляемую мощность и т.п.

Результат реализации программы — рассчитанная величина целевой функции (в данном случае минимума приведенных затрат) и оптимальное количество конкретных типов средств оргтехники, которые удовлетворяют требования принятой системы ограничений. Использование программного обеспечения по использованию метода линейного программирования существенно снижает трудоемкость расчетных работ и уменьшает сроки их выполнения, а также обеспечивает повышение объективности, обоснованности и эффективности принимаемых решений.

Графические методы

Графические методы исследования СУ часто предполагают использование различных диаграмм, графиков и гистограмм в качестве инструмента изучения явлений. В частности, известны:

• диаграммы — Исикавы («рыбьего скелета» — причинно- следственной диаграммы), Парето, разброса, «радиационного» вида, системная — древовидная, матричная, сетевая и др.;
• графики — круговой, ленточный, Z-образный, в виде ломаных линий и др.;

• гистограммы — с двухсторонней симметриеи, вытянутые влево или вправо, «двухгорбые», с обрезанными (ограниченными) одним или двумя краями и др.

 

ДИАГРАММА ИСИКАВЫ

Целью построения диаграммы  Исикавы — выявление эффективного способа решения поставленного вопроса. В диаграмме исследуемый вопрос (например, характеристика качества) изображается в виде прямой горизонтальной линии, а причинные факторы, влияющие на исследуемую характеристику, даются наклонными прямыми линиями (стрелками). На диаграмме причинные факторы первого порядка изображаются большими наклонными линиями, а второго, третьего и т.д.— малыми наклонными линиями (рис. 4.1).

Основные работы по построению такой диаграммы включают:

• выбор «узкого» места в объекте исследования;
• проведение на диаграмме прямой горизонтальной линии, отображающей характеристику избранного для исследования объекта;
• определение причинных факторов первого порядка, влияющих на объект, и изображение их на диаграмме в виде больших наклонных линий;

 

ДИАГРАММА ПАРЕТО

Среди перечисленного графического инструментария нередко представляет практический интерес диаграмма  Парето, которая помогает выявить причины и факторы, позитивно или негативно влияющие то или иное явление. Такой вид диаграммы наглядно показывает эти причины и факторы в порядке уменьшения значимости. Например, при определении приоритетности девяти стимулов приобретения (реализации) на внутреннем рынке телевизоров отечественного производства и представлении результатов обработки данных в виде диаграммы Парето (рис. 4.3) оказалось, что наиболее значимым стимулом для потребителей (покупателей) является более высокий технический уровень телевизоров (эти данные были получены экспертным методом на основе парных сопоставлений при участии 20 экспертов).

При использовании некоторых  рассмотренных методов (причинно-следственной диаграммы, диаграммы Парето и др.) решение исследовательских задач представляет собой ряд последовательно (или параллельно, или последовательно-параллельно) выполняемых группами исследователей работ. При этом для большинства работ должны быть предусмотрены обратные связи. Примерный порядок использования диаграммы Парето может быть следующим:

1. выбор проблемы для решения;
2. разработка причинно-следственной диаграммы;
3. определение заданий исследователям;
4. сбор и анализ информации для выполнения каждого задания;
5. разработка причинно-следственной диаграммы в соответствии с заданием;
6. разработка диаграммы Парето по проблеме;
7. разработка предложений и мероприятий, направленных на ликвидацию недостатков (на основе диаграммы Парето);
8. получение необходимой помощи при подготовке предложений и мероприятий;
9. разработка окончательных предложений и мероприятий по решению проблемы;
10. внедрение предложений и реализация мероприятий;

И) анализ и обсуждение технико-экономических и социальных результатов внедрения предложений  и реализации мероприятий.

ГРАФИКИ И КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ

Графики, отображаемые ломаной  линии, как правило, используют при изучении характера изменений исследуемого объекта от времени (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Характер изменения брака (в зависимости  от времени)

При этом данные могут обрабатываться, например, методом наименьших квадратов. Подобного рода графики позволяют выявить тенденцию изменения объекта, а в некоторых случаях (при соблюдении определенных условий) — дать прогноз такого изменения.

Графики в виде контрольных карт отличаются от обычных наличием линий, называемых границами регулирования (контрольными границами). Они чаще всего используются при контроле качества продукции и регулировании технологических процессов. В зависимости от вида контроля различают контрольные карты, применяемые при контроле и регулировании по количественному (в том числе альтернативному) и качественному признакам. В первом случае используются численные значения показателей качества единиц продукции, во втором — единицы продукции делят на несколько групп качества и решение о контролируемой продукции принимают в зависимости от соотношений единиц продукции разных групп.

Пример одной из контрольных  карт по количественному признаку / представлен на рис. 4.5. Как видно на карте, 18-я выборка имеет восемь дефектных единиц продукции, что совпадает с браковочным числом (со значением границ регулирования). Следовательно, в этом случае технологический процесс должен быть признан разлаженным и требующим регулирования.

 

КРУГОВАЯ  ДИАГРАММА

Очень часто для анализа различных данных используют круговые диаграммы, пример которой представлен на рис. 4.6.

 

СЕТЕВЫЕ ГРАФИКИ

Помимо других графических  методов, в управлении в целом  и в исследованиях СУ в частности  используются сетевые графики. Сетевой график — полная графическая модель направленных на выполнение единого задания комплекса работ, в которой представлена логическая взаимосвязь, последовательность работ и взаимосвязь между ними. Основными элементами сетевого графика являются работа, событие, критический путь.

Событие — результат (но не процесс) предшествующего ему управленческого или производственного процесса. События могут быть исходными, завершающими, начальными и конечными.

Работа на сетевом графике является действием, которое следует совершить для перехода от одного события к другому. Для каждой работы на графике может быть указана ее продолжительность (в днях, часах или минутах).

Вся непрерывная последовательность работ на графике составляет путь определенной суммарной продолжительности. Этой продолжительности следует уделять особое внимание, так как при сравнении продолжительности всех путей на графике (от исходного до завершающего события) можно определить тот, который имеет по продолжительности наибольшее значение. Его называют критичёским, поскольку он обусловливает время окончания всего комплекса работ.

События на графике отображаются в  виде кружков с номером события  внутри, а работы — в виде стрелок, направленных от начального события к следующему, а в итоге к конечному. Событий с одинаковыми номерами и работ с одними же кодами не должно быть. При необходимости вводят промежуточные события.

Строят график от исходного события  к конечному, При этом не должно быть событий, кроме исходного, которым  не предшествует ни одна работа, а также не должно быть тупиковых событий (из которого бы не выходила ни одна работа), кроме завершающего.

Пример сетевого графика приведен на рис. 4.7, а в табл. 4.1 дан пример сетевой матрицы для этого  графика.

Рис. 4.7 Сетевой график плана реализации организационно-управленческих нововведений по увеличению объемов производства на предприятии

Сетевой график обладает рядом преимуществ  по сравнению с другими формами  представления планов. Он позволяет  рассчитать ранние и поздние сроки  начала и окончания каждой работы, определить критический путь, общие и частные резервы времени. В то же время сетевой график недостаточно информативен и нагляден, так как в нем не указаны исполнители работ, а основные показатели не изображаются, а рассчитываются.

Поэтому можно использовать сетевую матрицу, которая объединяет наглядность ленточного графика с достоинством сетевого графика.

Сетевые матрицы, как правило, строят в масштабе времени, где указывают  исполнителей каждой работы, а также  резервы времени. Сетевая матрица строится в следующей последовательности: