Расчет оптимальных размеров контейнера для перевозки

Стелковский О.Ч. группа 6 пп Вариант 17

Лабораторная  работа № 3

Расчет оптимальных размеров контейнера для перевозки

Цель работы: Освоить методы математического моделирования и оптимизации многофакторных технических систем.

                                     Вариант 1

Vз, м3	Pтр, у.е.	Pдн, у.е.	Pбок, у.е.	Pкр, у.е.
400	12	30	20	25

 

1. Объектом моделирования является контейнер для перевозки зерна..
2. При моделировании контейнера ограничимся рассмотрением конструкций правильной пирамидальной формы и ценами на материалы для его изготовления и транспортировку зерна, которые известны по условию задачи.
3. Критерий оптимизации – величина полных затрат на изготовление контейнера и транспортировку зерна с его помощью: C, у.е.:

,

где C_м - затраты на изготовление контейнера, у.е.;

C_тр - затраты на транспортировку зерна, у.е..

4. Контейнер перед каждым рейсом будет наполняться зерном на его полный объём V_к, м³ и в результате весь объём зерна V_з = 400 м³, подлежащий транспортировке к переработчику, будет перевезен за рейсов.
5. На критерий оптимизации влияют следующие параметры:

• цена материалов, необходимых для изготовления разных частей контейнера: днища P_дн = 30 у.е/м², боковых стенок P_бок = 20 у.е/м², крышки P_кр = 25 у.е/м²;

• цена одного рейса при транспортировке зерна P_тр = 12 у.е.;
• площади отдельных элементов контейнера (днища S_дн, м²; боковых стенок S_бок, м²; крышки S_кр, м²), от которых будут зависеть затраты на изготовление контейнера;
• объём контейнера V_к, м³, от которого будут зависеть затраты на транспортировку зерна.

Ценовые параметры  являются внешними по отношению к  моделируемой системе, поэтому в  границах моделируемой системы нет  факторов, с помощью которых можно  влиять на ценовые параметры. На остальные  параметры – площади отдельных элементов и объём контейнера – можно влиять, варьируя геометрические факторы конструкции контейнера:

• сторона крышки контейнера, a, м;
• сторона днища контейнера, b, м;
• высота контейнера, h, м.

6. Уравнения взаимосвязи целевой функции, факторов и параметров оптимизируемой системы:

Стоимость транспортировки  зерна будет равна:

,

где ближайшее большее целое число рейсов, необходимых для транспортировки всего объёма зерна.

Объём контейнера найдём по формуле объёма правильной усечённой пирамиды:

.

Площади крышки и днища контейнера:

,

.

Площадь боковой  поверхности контейнера:

Целевая функция:

7. Ограничения на факторы, вытекающие из условий транспортировки и их физической сущности:

,

,

.

8. Модель оптимизации в канонической форме:

Целевая функция:

Ограничения на факторы и параметры:

,

,

.

1. Математическая модель создана в программе Mathcad. Введем постоянные параметры и зададим целевую функцию, как функцию пользователя от варьируемых факторов:

 

В качестве стартовой точки выберем центр  факторного пространства и вычислим целевую функцию в этой точке:

 

Создадим  блок решения оптимизационной задачи:

 

 

Выполним расчеты и выведем  значения факторов и параметров модели в точке оптимума:

9. Расчёты выполнены с 5-ю различными стартовыми точками. Результаты расчётов представлены в таблице.

Результаты  оптимизации при различных стартовых  точках

№	a, м	b, м	h, м	a0, м	b0, м	h0, м	C, у.е.
	2	2	2	2,07	1,92	2,749	1140
	1	1	3	2,07	1,92	2,749	1140
	3	1	1	2,07	1,92	2,749	1140
	1	3	1	2,07	1,92	2,749	1140
	3	3	3	2,07	1,92	2,749	1140

Как видно  из таблицы 1, оптимальное решение  не зависит от стартовой точки, поэтому  с большой вероятностью можно  считать найденное решение оптимальным. Полученное минимальное значение целевой  функции относится к условному  минимуму, так как лежит на верхней  границе допустимых значений фактора h – высоты контейнера. Если бы не было ограничения по габаритам, можно было бы предложить решение с еще меньшим значением целевой функции.

Анализ  решения показывает, что количество рейсов, необходимых для транспортировки  зерна, равно 53.6, то есть фактически 54, что означает – дополнительный 54-й рейс будет совершен с полупустым контейнером. Возможно, это экономически оправдано. Но может быть не дороже сделать контейнер побольше, но рейсов только53. Уточним полученное оптимальное решение, введя дополнительное ограничение на точное число рейсов, равное 53. Для этого введем в блок решения дополнительное ограничение

Для ввода  данного выражения в Mathcad необходимо использовать знак «тождественно равно», находящийся на панели команд Boolen. В качестве стартовой точки выберем найденные

оптимальные значения факторов:оптимальные значения факторов:

 

 

10. Анализ результатов показывает, что уточненное решение не отличается по значению целевой функции (в пределах точности расчетов). Небольшое увеличение размеров, а соответственно и стоимости изготовления контейнера, будет компенсировано удешевлением перевозки. Поэтому нет смысла делать 54 рейсов, даже если это даст те же затраты.

 

Таким образом, рекомендуем следующее решение:

Необходимо  изготовить контейнер с размерами: a = 2,07м, b = 1,92м, h = 2,749м.

Объём контейнера будет равен V_к = 10,95 м³.

Затраты на изготовление контейнера составят C_м= 657 у.е.

Для транспортировки  зерна необходимо выполнить N = 37 рейсов.

Затраты на транспортировку составят C_тр= 438,2 у.е.

Размер полных затрат составит C = 1095,6 у.е.