Статистическое прогнозирование урожайности сельскохозяйственных культур

Выравнивание по линейной функции: =.  (2.1.7)

Воспользуемся данными о производстве продукции (табл.8.13) и попытаемся определить закономерность изменения уровней в данном периоде в виде тренда, т.е. осуществим аналитическое выравнивание ряда.

Таблица 8.13 Производство продукции

Год	2004	2005	2006	2007	2008	Итого
Условное обозначение года  t	1	2	3	4	5
Производство продукции у ,млн.т	9,4	8,3	7,5	6,8	5,9

 

Поскольку в этом ряду уровни изменяются примерно в арифметической прогрессии, есть все основания, что применить уравнение тренда с параметрами и .

Существует несколько методов определения параметров гипотетической линейной функции тренда. Рассмотрим их в порядке возрастания сложности:

1. Метод составления и решения системы двух уравнений по значению двух конкретных уровней ряда.

Например, если взять первый и четвертый уровень (табл.8.13.),для которых t соответственно равно 1 и 4,а уровни 9,4 и 6,8 можно записать следующую систему:

  (2.1.8.)

Решая эту систему, находим, что =-0,87,а =10,27.Отсюда искомое уравнение тренда будет =10,2-0,87 t. Это приближенная модель тренда. Подставляя в уравнение значение t=1,2,3,4,5,получаем выравненные значения уравнений: 

=8,53;7,66;=6,79;

Этот метод отыскивания параметров прост, но он не дает однозначного ответа.

2)метод нахождения параметров  линейного тренда заключается  в следующем: эмпирический ряд  разбивают на две части и  для каждого из них определяют  суммарное значение уровней и  времени. При этом выдвигается  требование что бы суммы эмпирических  и теоретических уровней были  равны или, что одно и тоже, что бы сумма отклонений фактических  уровней от теоретических, рассматриваемые  как средние ,была равна нулю, т.е.

=) =0 (2.1.9)

Где y-эмпирические уровни;

=- теоретические уровни. (2.1.10)

Раскрыв скобку и перенося в правую часть равенства получим :                  (2.1.11)

Применим этот метод к нашему примеру (см. табл.8.13).

Разобьем ряд на две части:

Для первой части

;

 

Решив эту систему находим =10,04,а

Отсюда уравнение тренда

=

Подставим в уравнение значение t=1,2,3,4,5,получим теоретические уровни:

, сумма которых (=37,9) совпадает с суммой эмпирических уровней ,что не наблюдалось когда уравнение строилось по двум уровнях. Во всех найденных уравненияххарактеризует среднегодовой абсолютный прирост производства продукции. Все они близки к -0,8 млн.т.

3)Метод наименьших квадратов  при этом методе учитываются  все эмпирические уровни и  должна обеспечиваться минимальная  сумма квадратов отклонения эмпирических  значений уровней у от теоритических ,т.е. (2.1.12)

 

2.2.Анализ колеблемости  динамического ряда

Уровни ряда динамики формируются под влиянием различных взаимодействующих факторов, одни из которых определяют тенденцию развития, а другие колеблемость (вариацию).

Изучение колеблемости в рядах динамики как предмета исследования часто является самостоятельной задачей в статистике.

Колебания уровней ряда могут носить разный характер. Исследователи временных рядов всегда пытались классифицировать факторы, вызывающие те или иные колебания, и, соответственно, выделить типы колебаний. Большинство авторов чаще всего выделяют (наряду с трендом) циклические (долгопериодические), сезонные (обнаруживаемые в рядах, где данные приведены за кварталы или месяцы) и случайные колебания.

Для измерения колеблемости уровней в рядах динамики могут использоваться показатели, аналогичные показателям вариации признака:

1)размах или амплитуда, отклонений отдельных уровней  от их средней (по модулю) или  от тренда;

2)среднее линейное отклонение d (по модулю) отдельных уровней  от общей средней  или от  тренда;

3)среднее квадратическое  отклонение σ отдельных уровней  от общей средней или от  тренда;

4)относительный показатель  колеблемости уровней, аналогичный  коэффициенту вариации,

(2.2.1.)

При этом важно учитывать, относительно какого показателя исследуется колеблемость.

Рассмотрим традиционный случай расчета среднего квадратического отклонения отдельных уровней от общего среднего уровня ряда :

σ=(2.2.2.)

В данном случае ² характеризует сумму квадратов отклонений фактических уровней от общей средней за счет всех факторов, формирующих уровни, как основных, определяющих тренд, так и случайных.

Задача исследований колебания уровней в рядах динамики сводится к разложению общей колеблемости на составляющие и выделению именно тех колебаний, которые интересуют исследователя.

Для решения этой задачи необходимо разложить общую сумму квадратов отклонений от средней ² на состовляющие.

Имея фактические уровни ряда и уровни, выравненые по определенному тренду ,можно рассчитать следующие суммы квадратов отклонений:

1. ²-общую сумму квадратов отклонений фактических уровней от их общей средней ;
2. ²-сумму квадратов отклонений за счет тренда:
3. ²- сумму квадратов отклонений за счет случайных факторов.

Согласно правилу сложения вариации и правилу сложения дисперсий первая сумма равна сумме двух последних:

²=²+² (2.2.3.)

Отсюда, пользуясь величиной можно рассчитать среднее квадратическое отклонение уровней ряда за счет тренда.

В свою очередь, используя , можно рассчитать среднее квадратическое отклонение уровней за счет случайных факторов.

Чем меньше эта сумма, тем ближе фактические уровни к линии тренда. Это означает, что линия тренда подобрана удачно, т.е. адекватна эмпирическим данным. Поэтому среднее квадратическое отклонение, рассчитанное на основе данной суммы квадратов отклонений от тренда, одновременно рассматривается как средняя квадратическая ошибка уравнения тренда.

При этом, поскольку разные уравнения тренда имеют различное число параметров m, средняя квадратическая ошибка уравнения тренда S или (σ ост.) рассчитывается путем деления ² не на n, а на (n- m) т.е. на число степеней свободы:

S =       (2.2.4.)

Если уровни ряда являются месячными или квартальными показателями и несут на себе влияние сезонности, то в общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от их средней можно выделить также составляющую, характеризующие сезонные колебания.

2.3 Анализ колеблемости  уравнений динамического ряда

Ошибка прогноза связана прямой зависимостью с колеблемостью. Поэтому сила колебаний должна учитываться при выборе соотношения между длиной базыпрогноза и сроком упреждения. Чем сильнее колеблемость, тем большим должно быть это соотношение.

Область применения метода прогнозирования не основе тренда и колеблемости весьма широка, что вытекает из большого значения изучения трендов и колеблемости в социально-экономических науках, а так же в процессепрактического планирования и управления производством. Одним из самых ярких примеров может служить прогнозирование урожайности на основе трендовой модели, а значит и объема продукции растениеводства, так как среди факторов, влияющих на урожайность, значительную роль играют метеорологические явления, которые в настоящее время наука не в состоянии прогнозировать даже на год в перед, а трендовая модель и измерение колеблемости позволяют рассчитывать вероятные границы прогнозируемой урожайности на несколько лет вперед.

Прогнозирование всегда опирается на опыт развития изучаемого явления в прошлом. Поэтому любой прогноз как выход за пределы изучаемого периода можно рассматривать как экстраполяцию.

Прогноз выражается как в виде точечной или интервальной оценке. Точечный прогноз есть оценка прогнозируемого показателя в точке (в конкретном году, месяце, дне, середине периода прогноза) по уравнению, описывающему тенденцию показателя.

Точечная оценка рассчитывается путем подстановки номера года, на который рассчитывается прогноз, в уравнение тренда. Она является средней оценкой для прогнозируемого интервала времени. Так, точечный прогноз указывает ту величину урожайности, на которую в среднем выйдет объект на прогнозируемый год, если тенденция динамики урожайности сохранится. Эту величину можно использовать в планирование.

Интервальный прогноз по типу прогнозируемого показателя распадается на три вида: прогноз вероятных границ тренда; прогноз вероятных границ уровней отдельных лет с учетом их возможной колеблемости относительно тренда; прогноз вероятных границ среднегодовых уровней динамического ряда.

Прогноз вероятных границ тренда для любого заданного года (срока упреждения) отвечает на вопрос о том, в границах какого интервала окажется с заданной вероятность уровень тренда   в году с номером tk, после того как станут известны все уровни yi отдельных лет, начиная от следующего за концом базы прогноза уровня   и до уровня в прогнозируемом году yk (l – период упреждения, k-l – база прогноза). При однократном выравнивании для определения параметра линейного тренда – среднегодового абсолютного прироста – средняя ошибка прогноза тренда для года с номером tk, отсчитываемого от середины прогноза, вычисляется по формуле:

     ,                              (2.3.1)

где – обозначение средней ошибки прогноза тренда;

     – оценка среднего квадратического отклонения отдельных уровней от тренда;

     N – число уровней динамического ряда.

Среднее квадратическое отклонение получают при однократном выравнивании. Из формулы следует, что ошибка прогноза тренда получается как дисперсия суммы.

Первое слагаемое подкоренного выражения – это квадрат средней ошибки параметра а0 – свободного члена уравнения линейного тренда, то есть средней ошибки уровня ряда, обратно пропорциональной числу членов ряда, рассматриваемого как выборка.

Второе – это дисперсия оценки второго параметра а1, то есть среднегодового прироста, умноженного на число лет от середины базы прогноза до прогнозируемого периода, так как ошибка в прогнозе возрастает пропорционально числу лет. Так как параметры а0 и а1 – линейно независимы, то применяется сложение по правилам дисперсии суммы независимых величин.

Для вычисления вероятных границ прогноза тренда необходимо среднюю ошибку прогноза умножить на величину t критерия или нормального распределения, чтобы получить вероятную ошибку прогноза тренда а

     а =                                  (2.3.2)

Вероятный интервал прогноза тренда равен точечному прогнозу плюс-минус вероятная ошибка

     а ,                                       (2.3.3)

Вероятную ошибку и интервал целесообразно вычислять с достаточно близкими t единицы вероятности: Конкретный выбор вероятности или надежности прогноза зависит от его задач и от силы колебаний. При прогнозе конкретного, уровня ряда динамики в силу того, что конкретный уровень зависит как от тренда, так и от колеблемости, средняя ошибка прогноза рассчитывается по формуле:

     ,                       (2.3.4)

где – средняя ошибка тренда;

     – среднее ожидаемое для прогнозируемого года отклонение конкретного уровня от тренда или абсолютной колеблемости.

При прогнозе среднегодового уровня на несколько лет рассчитывается точечный прогноз среднегодового абсолютного уровня. Если рассматривается динамика одномерного показателя, это есть средняя арифметическая величина из точечных прогнозов для всех лет усредняемого периода упреждения l:

     ,                              (2.3.5)

При линейных формах тренда среднего уровня и тренда среднего квадратического отклонения формула средней ошибки прогноза среднегодового уровня выглядит следующим образом:

     ,               (2.3.6)

Для оценки правильности статистического прогноза применяется методика ретроспективной оценки авторегрессионых прогнозов, основу которой составляет система показателей.

1.     Показатель  оправдываемости. Оправдавшимся считается  прогноз, в доверительные границы интервала которого попало фактическое значение уровня. По группе прогнозов вычисляется показатель оправдываемости прогнозов j:

     ,                                                (2.3.7)

где gj – число оправдавшихся прогнозов;

     g – общее число прогнозов.

Таким образом, показатель оправдываемости прогнозов – это доля оправдавшихся в достаточно однородной по характеру прогнозируемых процессов, достаточной большой для погашения случайностей группе прогнозов.

2.    Абсолютное отклонение точного прогноза от фактического уровня:

     ,                                    (2.3.8)