Статистический анализ продаж готовой продукции ООО ПФ «Челнинский арматурный завод»

    Если  ‌‌ /t_расч ‌/<‌‌‌ t_кр, то коэффициент статистически незначим.

             /t_расч /> t_кр, то коэффициент статистически значим и следовательно между x и y существует связь.

1.3.8 Метод выбора аппроксимирующей функции уравнения тренда⁷

    Данный  метод предполагает использование  динамических рядов y_t, где t= 1,n y_t – значение прогнозируемого показателя на момент времени t из ретроспективы.

    Процесс развития, движения социально-экономических  явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для  отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые  представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического  показателя, расположенных в хронологическом  порядке. В нем процесс экономического развития изображается в виде совокупности перерывов непрерывного, позволяющих  детально проанализировать особенности  развития при помощи характеристик, отражающих изменение параметров экономической  системы во времени.

    Составными  элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

    Ряд динамики может быть подвержен влиянию  факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под  влиянием факторов разного воздействия.

    Влияние эволюционного характера – это  изменения, определяющие некое общее  направление развития, как бы многолетнюю  эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические  и случайные колебания. Такие  изменения динамического ряда называются тенденцией развития, или трендом.

    Влияние осциллятивного характера – это  циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания.

1.3.9 Виды трендовой компоненты и проверка гипотезы о существовании тенденции⁸

    Тренд - это долговременная компонента ряда динамики. Она характеризует основную тенденцию его развития, при этом остальные компоненты рассматриваются только как мешающие процедуре его определения. При наличии ряда наблюдаемых значений для различных моментов времени следует найти подходящую трендовую кривую, которая сгладила бы остальные колебания.

    В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать тенденции трех видов:

• • среднего уровня;
• • дисперсии;
• • автокорреляции.

    Тенденция среднего уровня аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. В таком случае значения тренда в отдельные моменты времени будут являться математическими ожиданиями ряда динамики. Часто тенденция среднего уровня называется детерминированной составляющей исследуемого явления, и соответствующий ряд динамики выражается следующим уравнением:

    

    Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию  изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.

    Метод разности средних

          Проверка существенности разности средних. Ряд динамики разбивается  на две равные или почти равные части. Проверяется гипотеза о существовании  разности средних: Н₀ : у_1ср, = у_2ср.

    Воспользуемся методом проверки, разработанным  для малых выборок, так как  число членов анализируемого ряда, как правило, довольно незначительно. За основу проверки берется tα -критерий Стьюдента. При t > tα гипотеза об отсутствии тренда отвергается, при t < tα гипотеза (Н₀) принимается. Здесь t -расчетное значение, найденное для анализируемых данных, tα - табличное значение этого критерия при уровне вероятности ошибки, равном α. В случае равенства или при несущественном различии дисперсий двух исследуемых совокупностей (σ²₁ = σ²₂) исчисляется отношение средних с помощью выражения:

      

    где у₁ и у₂ - средние для первой и второй половины ряда динамики;

• n₁ и n₂ - число наблюдений в этих частях ряда;
• σ - среднее квадратическое отклонение разности средних.

    Значение  tα берется с числом степеней свободы, равным n₁+n₂-2. Необходимое значение σ можно определить на основе средней взвешенной величины дисперсий отдельных совокупностей:

    

    При оценивании дисперсий для первой и второй частей ряда динамики σ²₁ и σ²₂ возьмем число степеней свободы, равное

    n₁-1 и n₂-1, соответственно:

      

    Метод Фостера-Стюарта

    Кроме определения наличия тенденции явления позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

    Расчет  состоит из следующих этапов.

    1. Сравнивается каждый уровень  ряда со всеми предыдущими,  при этом 

    

    2. Вычисляются значения величин S и d:

    S = ∑S_i;        d =  ∑d_i;

    где   S_i = U_i + e_i;

             d_i = U_i - e_i.

    Анализируя  эту формулу, нетрудно заметить, что  величина S может принимать значения 0 ≤ S ≤ n - 1, причем S = 0, когда все уровни ряда равны между собой, и S = n - 1, когда ряд динамики монотонно убывает или возрастает. Показатель S характеризует тенденцию изменения дисперсии ряда динамики. Показатель d имеет нижний предел, равный - (n - 1), и верхний - (n - 1). В первом случае ряд является монотонно убывающим, во втором - монотонно возрастающим. Кроме того, показатель d может быть равен нулю:

    • если все уровни ряда равны между собой, тогда ∑U_i; = ∑e_i.

    (Данное  условие выполняется для ряда, который в первой половине является монотонно убывающим, а во второй - монотонно возрастающим);

    • если уровни подъема и спада чередуются, причем каждое следующее значение уровня подъема (спада) должно быть больше (меньше) всех последующих.

    Перечисленные случаи, при которых показатель d = 0, представляют лишь теоретический  интерес, и вероятность их использования при проведении практических расчетов крайне незначительна. Показатель d характеризует изменение тенденций в среднем.

    Оба показателя S и d, асимптотически нормальны и имеют независимые распределения.

    3. Проверяется с использованием t-критерия Стьюдента гипотеза > том, можно ли считать случайными разности S - μ. и d - 0:

    

    где μ - среднее значение величины S, определенное для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

           σ₁ - стандартная ошибка величины S;

           σ₂ - стандартная ошибка величины d.

    4. Сравниваются расчетные значения t_s и t_d с табличным при заданном уровне значимости. Если t_s < t_табл и t_d < t_табл, то гипотеза об отсутствии тренда в средней и дисперсии подтверждается. 

    Методы  анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

    После того как установлено наличие  тенденции в ряду динамики, производится ее описание с помощью методов сглаживания. Методы сглаживания разделяются на две основные группы:

    1) сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

    2) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний. 
 
 

    Метод простой скользящей средней.

    Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда и название - скользящая средняя.

    Каждое  звено скользящей средней - это средний  уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

    Для каждого конкретного ряда динамики (y₁, y₂, …, y_n) алгоритм расчета скользящей средней следующий.

    1. Определить интервал сглаживания, т. е. число входящих в него уровней m (m < n), используя правило: если необходимо сгладить мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим, и, наоборот, интервал сглаживания уменьшают, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний, возникающих, например, из-за автокорреляций уровней.

    2. Вычислить среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при условии, что m - нечетное число, по одной из формул:

    

    где у - фактическое значение i-ro уровня;

          m - число уровней, входящих в интервал сглаживания (m =2р + 1);

          у_t - текущий уровень ряда динамики;

           i - порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

          р - при нечетном m равно: р = (m - 1) / 2.

    Определение скользящей средней по четному числу  членов ряда динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между  двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания.

    Если  число членов скользящей средней  обозначить через 2m, то серединным будет уровень, относящийся к m + 1/2 члену ряда,  т. е. имеет место сдвиг периода, к которому относится уровень. Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим периодами, следующая средняя - к середине между третьим и четвертым, и т. д. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние не центрированные по этим суммам и средние из двух смежных не центрированных скользящих средних.

    Сдвинуть  интервал сглаживания на одну точку  вправо, потом вычислить по формуле  сглаженное значение для t + 1 , члена, снова произвести сдвиг и т. д. В результате последовательного применения приведенной итеративной процедуры получится n - (m - 1) новых сглаженных уровней. 

    Первые  и последние р членов ряда с  помощью данного алгоритма сгладить нельзя, так как их значения теряются.

    Метод простой скользящей средней вполне приемлем, если графическое изображение  ряда динамики напоминает прямую линию. В этом случае не искажается динамика исследуемого явления. Однако, когда  тренд –выравниваемого ряда имеет  изгибы и к тому же желательно сохранить  мелкие волны, использовать для сглаживания  ряда метод простой скользящей средней  нецелесообразно, так как простая  скользящая средняя может привести к значительным искажениям исследуемого процесса.  
 

    Выбор уравнения тренда, отображающего развитие социально-экономических явлений во времени

    Выбор уравнения тренда, отображающего  развитие социально-экономических явлений во времени. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

    Полиномы  имеют следующий вид:

• полином первой степени
• полином второй степени
• полином третьей степени
• полином n-ой степени