Статистический анализ продаж готовой продукции ООО ПФ «Челнинский арматурный завод»

    Если  , то между случайными величинами Y и х существует только корреляционная связь:  .

    Коэффициент корреляции находится по формуле:

     (1), где

    

     , , ,    

    

     Для вычисления r по значениям выборочных данных x_i и y_i, , формулу (1) преобразуем к виду (2):

                

1.3.2 Основные виды  уравнений парной  регрессии и методы  определения их  параметров²

    Выбор формулы связи (вида уравнения) называется спецификацией уравнения регрессии.

    Перечислим  основные виды уравнений парной регрессии:

• Линейная зависимость ;
• Гиперболическая зависимость ;
• Степенная зависимость ;
• Логарифмическая зависимость ;
• Полиномиальная зависимость ;
• Тригонометрическая зависимость ; где m – число гармоник; a₀, a_k, b_k – неизвестные коэффициенты линии регрессии.

    Определение параметров уравнения регрессии  называется параметризацией. 

    Для определения неизвестных параметров уравнения регрессии обычно применяют  метод наименьших квадратов (МНК). Рассмотрим функцию вида .

    Алгоритм  применения МНК

1. Строится целевая функция
2. Находится система уравнений для определения неизвестных параметров

    Согласно  МНК для нахождения параметров полинома p-ой степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:

    

    Решение этой системы относительно и дает искомые значения параметров. 

    Линейная  зависимость

    Для определения неизвестных параметров    линейной зависимости методом наименьших квадратов необходимо решить следующую  систему нормальных уравнений:

     .

    Пусть d, d_a ,d_b – определители, соответствующие системе уравнений (3), а именно:

     .

    Тогда неизвестные коэффициенты уравнения  регрессии  будут равны:

     .

    Другое решение системы (3). Из первого уравнения следует:  , а из второго – имеем:

      Таким образом  , .

    Подставив значения  а и b в формулу , получим:

     . 

    Гиперболическая зависимость

          При гиперболической  зависимости  параметры a и b находят, как и в случае линейной зависимости, но для уравнения регрессии     , где . 

    Степенная зависимость

    Для определения параметров a и b степенной зависимости необходимо преобразовать зависимость в линейную, для этого прологарифмировать обе части:

                            

          Пусть     ,      a* = lna,     x* = lnx, тогда        .

          Применив к зависимости  МНК, находим  .

          Определители d, d_a*, d_b относятся к системе уравнений

     , где  

      Значение а находим в результате потенцирования a = e^a*, значение b из соотношения b = d_b / d. 

    Логарифмическая  зависимость

          Для определения  параметров a и b при заданной зависимости уравнение  регрессии представим в виде ,где x*=lnx..

      

    Параболическая  зависимость

          Алгоритм применения МНК для параболической зависимости  второго порядка  заключается в следующем:

    1. Строится целевая функция:

    

    2. Находится система нормальных уравнений

    

    Система преобразуется к виду:

    

    Решение системы нормальных уравнений относительно неизвестных параметров a, b, c можно найти, как и при линейной зависимости, с помощью определителей:

     , где

      

    Тригонометрическая  зависимость

    Уравнение регрессии этого вида является приближением функции Y(х), которое тем точнее, чем больше значение  m (m - число гармоник, количество составляющих исследуемого процесса). Поэтому при различных значениях m получаются различные виды тригонометрической зависимости.

     Значения неизвестных параметров a_0, a_k, b_k ( ) находят с помощью метода наименьших квадратов.

    Для этого строится целевая функция:  

      Далее находят  .

    Получается  система нормальных уравнений. Эта  система обладает свойством ортогональности.

    В результате решения системы получим:

    

    Если  увеличивается число коэффициентов  в уравнении регрессии при  параболической и тригонометрической зависимости, то увеличится точность аппроксимации, но уменьшится значимость в результате увеличения дисперсии  , где n – количество неизвестных параметров в уравнении регрессии.

    При нелинейной зависимости определение  тесноты связи между двумя  случайными величинами х и Y  производится с помощью корреляционного отношения

     , где .

    Корреляционное  отношение h всегда положительно       0£ h £ 1.

    Чем теснее связь между Y и х, тем меньше величина ,  , тем больше h.

    Точность  аппроксимации определяется как средняя относительная ошибка аппроксимации .

    Величина d определяется в процентах. Чаще применяется при оценке нелинейной зависимости.

1.3.3 Оценка значимости  коэффициента корреляции³

    Поскольку коэффициент корреляции r определяется по данным случайной выборки, то он может отличаться от коэффициента корреляции r, который соответствует генеральной совокупности.

    В случае, когда объем выборки N ³ 20, то предполагают, что коэффициент корреляции является случайной величиной, распределенной по нормальному закону.

    Пусть sr – среднеквадратичное отклонение выборочного коэффициента корреляции r.   Тогда при N ³ 20 доверительный интервал для r  будет равен (r - xpsr, r + xpsr), где хр – параметр нормального распределения вероятностей:

     .

    Значение  хр определяется по таблице функции  распределения Ф(х) в зависимости  от вероятности Р. Для оперативного определения значения хр  при  Р ³ 0,9, можно использовать таблицу 1.

    Таблица 1.

     

(х)	0,9	0,95	0,99
хр	1,653	1,96	2,576

    Значение  среднеквадратичного отклонения s_r можно определить по формуле .

    Подставим  в доверительный интервал вместо неизвестной величины r его оценку по выборке r и s_r . Тогда

     . Для проверки значимости выборочного коэффициента корреляции r чаще используется так называемая нулевая гипотеза: H₀: r = 0,      H₁: r ¹ 0.

    Суть  нулевой гипотезы состоит в том, что в случае, когда для случайных  величин х и Y на основании выборок и получено½r½>0, т.е. между ними имеется корреляционная связь, предполагается, что в генеральной совокупности этой связи нет (H₀: r = 0).

    При r = 0, получим:

     .

    При проверке нулевой гипотезы достаточно использовать только левый (нижний) предел доверительного интервала  . Так как r = 0, то .

    Данное  условие означает, что нулевая  гипотеза с вероятностью Ф(х_р) подтверждается.

    Если  , то нулевая гипотеза с вероятностью Ф(х_р) отвергается, а, следовательно, связь между х и Y имеет место.

    В тех случаях, когда размер выборки        N<20, для проверки нулевой гипотезы (r = 0) используется t – критерий Стьюдента. 

    Алгоритм  использования t – критерия Стьюдента (N<20)

    Определяется  расчетное значение t_расч. по формуле: .

    По  таблице критических точек распределения  Стьюдента по значению числа степеней свободы k = N - 2 и уровню значимости a (уровень значимости - это вероятность совершить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть правильную нулевую гипотезу) определяется теоретическое значение t_теор. (критическая точка).

    Если ½t_расч½ £ t_теор., то нулевая гипотеза Н₀ принимается (r = 0),  если ½t_расч½ > t_теор., то            Н₀ – отвергается         (r ¹ 0), следовательно,  случайные величины  х и Y  коррелированы,  то  есть   между   ними   существует линейная связь.

1.3.4 Автокорреляция остатков.  Критерий Дарбина – Уотсона⁴

    Статистическая  значимость коэффициентов регрессии  не гарантирует высокое качество уравнения регрессии.  При анализе  уравнения регрессии на начальном  этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки, которую можно  сформулировать как статистическая независимость отклонений (остатков ) между собой.

    При этом проверяют их некоррелированность, причем не любых, а только соседних величин    e_i , .