Статистический анализ влияния численности населения на объём товарооборота

Это означает, что более  половины городов имеют Численность населения свыше 77,50 тыс.чел.

Соотношение моды, медианы  и средней арифметической указывает  на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить  его асимметрию. Если M0<Me< - имеет место правосторонняя асимметрия. В нашем случае (76,0) < Me(77,5) < Mo(80,5), а значит имеет место левосторонняя асимметрия ряда, то есть преобладают города с более низкой численностью населения.

По рассматриваемой совокупности городов можно сделать заключение, что наиболее распространенной является Численность населения порядка 80,5 тыс.чел. В то же время, Численность населения более половины городов свыше 77,5 тыс.чел., при среднем уровне Численности – 76,0 тыс.чел.

В Приложении приведены Описательные статистики инструмента Анализ данных Excel  для рассматриваемой выборки по двум признакам.

Задание 2.

По исходным данным:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Численность населения и Товарооборот методом аналитической группировки, образовав по факторному признаку четыре группы с равными интервалами.

2. Измерить тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделать выводы по результатам выполнения задания.

Решение

Исходными данными для  задания 2 будет интервальный ряд, полученный при выполнении задания 1. Результаты выполнения аналитической группировки предприятий по факторному признаку Численность населения даны в табл. 2, которая показывает, что с увеличением значений факторного признака x закономерно увеличиваются средние групповые значения  результативного признака . Следовательно, между признаками x и y существует прямая связь.

Точечный график связи  признаков  (диаграмма рассеяния) позволяет сделать вывод, что  имеет место статистическая связь. Предположительный вид связи  – линейная прямая.

Рис.2. Диаграмма рассеяния городов по параметрам Товарооборот и Численность населения.

 

Результаты выполнения аналитической группировки предприятий  по факторному признаку Численность населения даны в табл. 3.2, которая показывает, что с увеличением значений факторного признака х закономерно увеличиваются средние групповые значения  результативного признака . Следовательно, между признаками х и y существует прямая связь.

Таблица 7

Зависимость товарооборота  от численности населения
Номер группы	Группы городов по численности населения	Число городов	Товароотрот
			Всего	В среднем на один город
1	[45;60[	5	14,00	2,80
2	[60;75[	8	37,20	4,65
3	[75;90[	12	90,80	7,57
4	[90;105[	5	48,15	9,63
Итого		30	190,15	6,34

Оценка тесноты связи признаков x и y на основе эмпирического корреляционного отношения.

Для анализа тесноты  связи между факторным и результативным признаками рассчитывается показатель η – эмпирическое корреляционное отношение, получаемое извлечением квадратного корня из коэффициента детерминации.

           ,

где и - соответственно межгрупповая и общая дисперсии результативного признака y - Товарооборот (индекс х дисперсии означает, что оценивается мера влияния признака x на y).

Для качественной оценки тесноты  связи на основе показателя эмпирического  корреляционного отношения служит шкала Чэддока:

Значение η	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Сила связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Сначала рассчитаем внутригрупповые дисперсии результирующего признака по формуле:

Вспомогательные расчеты приведены в табл. 8

Таблица 8

№ города	Товарооборот	Численность населения	y-yсргр	(y-yсргр)2	y-yср
п/п	млрд.руб.	тыс.чел.	млрд.руб.		млрд.руб.	(y-yср)2
6	2,00	45	-0,80	0,640	-4,338	18,821
17	2,00	45	-0,80	0,640	-4,338	18,821
29	2,10	45	-0,70	0,490	-4,238	17,963
1	4,00	50	1,20	1,440	-2,338	5,468
28	3,90	50	1,10	1,210	-2,438	5,945
2	4,20	60	-0,45	0,203	-2,138	4,572
5	4,15	60	-0,50	0,250	-2,188	4,789
7	4,05	60	-0,60	0,360	-2,288	5,236
9	4,50	60	-0,15	0,023	-1,838	3,379
11	4,00	60	-0,65	0,423	-2,338	5,468
10	5,00	70	0,35	0,123	-1,338	1,791
14	6,00	70	1,35	1,823	-0,338	0,114
22	5,30	70	0,65	0,422	-1,038	1,078
18	7,00	80	-0,57	0,321	0,662	0,438
24	6,30	80	-1,27	1,604	-0,038	0,001
20	7,60	85	0,03	0,001	1,262	1,592
16	7,70	86	0,13	0,018	1,362	1,854
21	7,00	86	-0,57	0,321	0,662	0,438
8	7,80	87	0,23	0,054	1,462	2,136
4	7,80	88	0,23	0,054	1,462	2,136
3	7,90	89	0,33	0,111	1,562	2,439
13	7,95	89	0,38	0,147	1,612	2,597
15	7,90	89	0,33	0,111	1,562	2,439
19	7,90	89	0,33	0,111	1,562	2,439
23	7,95	89	0,38	0,147	1,612	2,597
26	9,05	100	-0,58	0,336	2,712	7,353
12	10,00	105	0,37	0,137	3,662	13,408
25	9,80	105	0,17	0,029	3,462	11,983
27	9,60	105	-0,03	0,001	3,262	10,638
30	9,70	105	0,07	0,005	3,362	11,301
	190,15	2302				169,238

Результаты расчета дисперсий  товарооборота по группам городов  представлены в табл. 9. Внутригрупповая дисперсия рассчитана по формуле: , как отклонение от простой (невзвешенной) средней арифметической результирующего признака внутри групп, сформированных по факторному признаку. Также вычислим и общую дисперсию.

			Таблица 9
Показатели внутригрупповой  вариации результирующего признака
Номер группы	Группы городов  по численности населения	Число городов	Σ(y-yсргр)2	Внутригрупповая дисперсия
1	[45;60[	5	4,420	0,884
2	[60;75[	8	3,625	0,453
3	[75;90[	12	3,002	0,250
4	[90;105[	5	0,508	0,102
Итого		30		5,641

С помощью вспомогательной  табл.10 вычислим межгрупповую дисперсию δ², которая характеризует вариацию результирующего признака под влиянием группировочного.

					Таблица 10
Номер группы	Группы городов  по численности населения	Число городов	yсргр	yсргр-yср	(yсргр-yср)2	(yсргр-yср)2f
1	[45;60[	5	2,800	-3,538	12,520	62,599
2	[60;75[	8	4,650	-1,688	2,850	22,804
3	[75;90[	12	7,567	1,228	1,509	18,106
4	[90;105[	5	9,630	3,292	10,835	54,175
Итого		30	6,338			157,684

Проверим, выполняется ли для рассчитанных величин правило  сложения дисперсий. Для этого нужно  подсчитать ещё среднюю взвешенную из внутригрупповых дисперсий:

Согласно правилу  сложения дисперсий, общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий.

5,641 = 0,385 + 5,256

Теперь рассчитаем коэффициент  детерминации

 ^{или 93,2%}

Таким образом, 93,2% вариации Товарооборота в городах обусловлено вариацией численности Численности населения, а 6,8% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

В соответствии с оценочной  шкалой Чэддока связь между Численностью населения города и Товарооборотом является весьма тесной.

Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности. Нелишним будет проверить, насколько заключение о тесноте связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Для проверки статистической значимости (существенности) коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

    m – количество групп.

Рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m: k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для различных комбинаций  значений  , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для  значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

F_табл (0,05; 3; 26) = 2,98

F_расч>F_табл, то есть с уровнем надёжности 95%  коэффициент детерминации признается статистически значимым (неслучайным), т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

 

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определить:

1. ошибку выборки средней численности населения города и границы, в которых она будет находиться для генеральной совокупности городов:

2. ошибку выборки доли городов с численностью 90,0 тыс.человек и более   и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

1. Определение ошибки выборки для величины средней Численности населения городов, а также границ, в которых будет находиться генеральная средняя.

Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), так как генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять два  вида ошибок выборки - среднюю и предельную .

Для расчета средней  ошибки выборки  применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для нашего случая механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле

,

где – общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности  t зависит от  значения  доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Для заданного уровня доверительной  вероятности 0,954 коэффициент кратности  t = 2.

Следовательно, предельная ошибка выборки  = 2·0,411 = 0,822

Доверительный интервал для  генеральной средней:

,

Таким образом, на основании  проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности городов средняя величина Численности населения находится в пределах от 75,178 до 76,822 тыс.человек.