Статистические методы изучения взаимосвязей производственных показателей фирмы (на примере производительности труда и заработной платы)

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между среднегодовой заработной платой и уровнем производительности труда.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

                                                            (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

,                                           (10)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

,                                 (11)

где     –групповые средние ;  – общая средняя;  –число единиц в j-ой группе;  k – число групп.

Для расчета  показателей  и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                           (12)

Значения числителя  и знаменателя формулы имеются  в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую  среднюю  :

= =78,33 тыс. руб.

Для расчета общей  дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер предприятия	Уровень производительности труда, тыс. руб.
1	2	3	4
1	70	-8,33	69,3889
2	52	-26,33	693,2689
3	84	5,67	32,1489
4	98	19,67	386,9089
5	79	0,67	0,4489
6	54	-24,33	591,9489
7	120	41,67	1736,389
8	90	11,67	136,1889
9	74	-4,33	18,7489
10	60	-18,33	335,9889
11	82	3,67	13,4689
12	104	25,67	658,9489
13	86	7,67	58,8289
14	65	-13,33	177,6889
15	36	-42,33	1791,829
16	71	-7,33	53,7289
17	87	8,67	75,1689
18	78	-0,33	0,1089
19	91	12,67	160,5289
20	45	-33,33	1110,889
21	62	-16,33	266,6689
22	73	-5,33	28,4089
23	94	15,67	245,5489
24	56	-22,33	498,6289
25	83	4,67	21,8089
26	115	36,67	1344,689
27	80	1,67	2,7889
28	108	29,67	880,3089
29	68	-10,33	106,7089
30	85	6,67	44,4889
Итого	2350		11542,67

Рассчитаем общую дисперсию:

=                          (13)

Для  расчета межгрупповой дисперсии  строится  вспомогательная        таблица 13, при этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета  межгрупповой дисперсии

Группы предприятий  по уровню производи- тельности труда, тыс. руб. x	Число предприятий,  fj	Среднее значение в группе, млн. руб.
1	2	3	4	5
120-410	3	44,33	-34	3468
410-1183	6	60,83	-17,5	1837,5
1183-3014	12	78,75	0,42	2,1168
3014-1466	5	92,00	13,67	934,3445
1466-1350	4	111,75	33,42	4467,586
ИТОГО	30			10709,55

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

                             (14)

Определяем коэффициент  детерминации:

 ^{0,9278 или 92,78%                                  (15)}

Вывод. 92,78 % вариации размера среднегодовой заработной платы предприятий обусловлено вариацией среднегодовой заработной плауровня производительности труда, а 7,22 % – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                        (16)

Рассчитаем показатель :

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между уровнем производительности труда и среднегодовой заработной платой является весьма тесной.

 

Задание 3 Применение выборочного метода

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1. Ошибку выборки среднего уровня заработной платы и границы, в которых будет находиться средняя заработная плата в генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли организаций с уровнем среднегодовой заработной платы 86,4 тыс. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Целью выполнения данного  Задания является определение для генеральной совокупности предприятий границ, в которых будут находиться средняя величина среднегодовой заработной платы, и доля предприятий со среднегодовой заработной платой от 86,4 тыс. руб.

1. Определение ошибки выборки для величины среднегодовой заработной платы, а также границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε.

Принято вычислять два  вида ошибок выборки - среднюю и предельную . Для расчета средней ошибки выборки применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле

,                                                           (17)

где – общая дисперсия изучаемого признака,

N – число единиц в генеральной совокупности,

n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,                                              (18)

где     – выборочная средняя,

          – генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки  кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

                                                     (19)

Коэффициент кратности  t зависит от  значения  доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал , называемый доверительным интервалом.

Наиболее часто используемые доверительные вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 14):

Таблица 14

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 15:

Таблица 15

Р	t	n	N
0,954	2	30	150	79,03	407,9996

Рассчитаем среднюю  ошибку выборки:

Рассчитаем предельную ошибку выборки:

Определим доверительный  интервал для генеральной средней:

 

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средняя величина среднегодовой заработной платы находится в пределах от 72,434 до 85,626 тыс. руб.

2. Определение ошибки выборки для доли предприятий со среднегодовой заработной платой 86,4 тыс. руб. и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или  иным заданным свойством, выражается формулой

,                                                                         (20)

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

,                                                   (21)

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:

                                            (22)

По условию Задания 3 исследуемым свойством фирм является равенство или превышение среднесписочной численности менеджеров величины 40 человек.

Число фирм с данным свойством  определяется из табл. 4 (графа 3):

m=9

Рассчитаем выборочную долю:

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли:

Определим доверительный  интервал генеральной доли:

0,2252

0,3748

или

22,52%

37,48%

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий региона доля предприятий со среднегодовой заработной платой 86,4 тыс. руб.  и более будет находиться в пределах от 22,52% до 37,48%.

 

Задание 4 Использование  индексного метода

Имеются следующие данные по организации:

Таблица 16

 

Показатели	Базисный период	Отчетный период
Выпуск продукции, млн. руб.	14,4	15,8
Среднесписочная численность работников, чел.	130	125
Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, млн. руб.	16,0	18,0

Определите:

1. Уровень производительности труда, показатель эффективности использования основных производственных фондов (фондоотдачу), фондовооруженность труда за каждый период.
2. Абсолютное и относительное изменение всех показателей в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом.

Результаты расчетов представьте в таблице.