Статистические методы изучения взаимосвязей производственных показателей фирмы (на примере производительности труда и заработной платы)

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по среднегодовой заработной плате не является равномерным: преобладают предприятий со среднегодовой заработной платой  от 69,6 тыс. руб. до 86,4 тыс. руб. (это 12 предприятий, доля которых составляет 40%); самые малочисленные группы предприятий имеют 36-52,8 тыс. руб. и 103,2-120 тыс. руб., каждая из которых включает соответственно 3 и 4 предприятия, что составляет 10%  и 13% от общего числа предприятий.

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 5 (графы 2 и 3) гистограмму распределения предприятий по изучаемому признаку.

Рис. 1. Определение моды графическим методом

Расчет конкретного  значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

                              (3)

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 5 модальным интервалом построенного ряда является интервал 69,6-86,4 тыс. руб., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₃=12). Расчет моды:

 

ВВывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная среднегодовая заработная плата характеризуется средней величиной  77,35 тыс. руб.

Для определения медианы  графическим методом строим по данным табл. 6 (графы 2 и 5) кумуляту распределения  предприятий по изучаемому признаку.

Рис. 2. Определение медианы  графическим методом

Расчет конкретного  значения медианы для интервального  ряда распределения производится по формуле

,                                      (4)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный  интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 69,6-86,4 тыс. руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=21 впервые превышает полусумму всех частот ( ).

Расчет медианы:

тыс. руб.

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина фирм имеют среднегодовую заработную плату не более 79,68 тыс. руб., а другая половина – не менее 79,68 тыс. руб.

 

3.  Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик  ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 6 строим вспомогательную таблицу 7 ( – середина интервала).

Таблица 7

Расчетная таблица для  нахождения характеристик ряда распределения

 

Группы предприятий  по размеру среднегодовой заработной платы, тыс. руб.	Середина интервала,	Число предприятий, fj
1	2	3	4	5	6	7
36-52,8	44,4	3	133,2	-34,16	1166,9056	3500,7168
52,8-69,6	61,2	6	367,2	-17,36	301,3696	1808,2176
69,6-86,4	78	12	936	-0,56	0,3136	3,7632
86,4-103,2	94,8	5	474	16,24	263,7376	1318,688
103,2-120	111,6	4	446,4	33,04	1091,6416	4366,5664
ИТОГО		30	2356,8			10997,952

Рассчитаем среднюю  арифметическую взвешенную:

тыс. руб.                           (5)

Рассчитаем среднее  квадратическое отклонение:

               (6)

Рассчитаем дисперсию:

σ² = 19,1468² = 366,6

 

Рассчитаем коэффициент вариации:

                             (7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина среднегодовой заработной платы составляет 78,56 тыс. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 19 тыс. руб.  (или 24,37 %), наиболее характерная среднегодовая заработная плата находится в пределах от  59,41 до 97,71  тыс. руб. (диапазон ). 

Значение V_σ = 24,37 % не превышает 33%, следовательно, вариация размера среднегодовой заработной платы  в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =78,56 тыс. руб., Мо=77,35 тыс. руб., Ме=79,68 тыс. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение среднегодовой заработной платы (78,56 тыс. руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

 

4.  Вычисление средней арифметической по исходным данным о среднегодовой заработной плате

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

,                                   (8)

Причина расхождения  средних величин, рассчитанных по исходным данным (79,03 тыс. руб.) и по интервальному  ряду распределения (78,33 тыс. руб.), заключается  в том, что в первом случае средняя  определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, их значения очень близки, что говорит о достаточно равномерном распределении численности менеджеров внутри каждой группы интервального ряда.

Задание 2. Выявление наличия корреляционной связи между уровнем производительности труда и заработной платой, установление направления связи и измерение ее тесноты

1. Установление наличия и характера корреляционной связи между признаками среднегодовой заработной платой и уровнем производительности труда методами аналитической группировки и корреляционных таблиц:

а) Применение метода аналитической группировки

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 4, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х- Уровень производительности труда, Y – Среднегодовая заработная плата и результативным признаком. Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8:

Таблица 8

 

Зависимость среднегодовой заработной платы от уровня производительности труда

Номер группы	Группы предприятий  по  уровню производительности труда, тыс. руб. x	Число предприятий, fj	Среднегодовая заработная плата, тыс. руб.
			всего	в среднем на одно предприятие,
1	2	3	4	5=4:3
1	120-410	3	133	44,33
2	410-1183	6	365	60,83
3	1183-3014	12	945	78,75
4	3014-1466	5	460	92,00
5	1466-1350	4	447	111,75
	ИТОГО	30	2350

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением уровня производительности труда от группы к группе систематически возрастает и среднегодовая заработная плата  по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

б) Применение метода корреляционных таблиц

Корреляционная таблица  строится как комбинация двух рядов  распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y.  Для факторного  признака Х – Уровень производительности труда эти величины известны из табл. 4 Определяем величину интервала для результативного признака Y – Среднегодовая заработная плата при k = 5, у_max = 120 тыс. руб., у_min = 36 тыс. руб.:

 тыс. руб.

Границы интервалов ряда распределения результативного  признака Y имеют вид:

Таблица 9

Границы интервалов ряда распределения результативного  признака Y

Номер группы	Нижняя граница, тыс. руб	Верхняя граница, тыс. руб.
1	36	52,8
2	52,8	69,6
3	69,6	86,4
4	86,4	103,2
5	103,2	120

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее предприятий  с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10). 

Таблица 10

Интервальный ряд распределения предприятия по размеру среднегодовой заработной платы

Группы предприятий  по размеру среднегодовой заработной платы, тыс. руб у	Число предприятий, fj
36-52,8	3
52,8-69,6	6
69,6-86,4	12
86,4-103,2	5
103,2-120	4
ИТОГО	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11

Корреляционная таблица зависимости размера среднегодовой заработной платы от уровня производительности труда

Группы предприятий по уровню производительности труда, тыс. руб.	Группы предприятий  по размеру среднегодовой заработной платы, тыс. руб.					ИТОГО
	36-52,8	52,8-69,6	69,6-86,4	86,4-103,2	103,2-120
120-410	3					3
410-1183		6				6
1183-3014			12			12
3014-1466				5		5
1466-1350					4	4
ИТОГО	3	6	12	5	4	30