Контрольная работа по "Теория статистики"

;     - общая дисперсия

;     - общая дисперсия

Таким образом вычисляем индекс корреляции:

 

 

5. Сравните результаты анализа связи методом аналитической группировки и регрессионно-корреляционным методом. Сделайте выводы.

 

a = 7	b = 8,7	a + b = 7+8,7 = 15,7
c = 4	d = 6,3	c + d = 10,3
a + c = 11	b + d = 15	a + b + c + d = 26

 

Рассчитаем коэффициент ассоциации по формуле:    

; 

Рассчитаем коэффициент контингенции по формуле:    

;  

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации: <

 

a = 3	b = 3,7	a + b = 6,7
c = 5	d = 6,2	c + d = 11,2
a + c = 8	b + d = 9,9	a + b + c + d = 17,9

 

Рассчитаем коэффициент ассоциации по формуле:    

; 

Рассчитаем коэффициент контингенции по формуле:    

; 

 

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации: <

 

Связь оказалась не подтверждённой.

 

Рассчитаем коэффициенты Спирмена:    

 

№	X	Y	ранги		разность рангов
11	10	9,8	24	21,5	2,5	3,25
19	10	10,2	24	23	1	1
23	10	10,5	24	25	-1	1
15	9	10,3	21	24	-3	9
18	9	9,8	21	21,5	-0,5	0,25
22	9	8,8	21	17	4	16
12	8	9	17,5	18,5	-1	1
14	8	8,7	17,5	15	2,5	6,25
21	8	9	17,5	18,5	-1	1
25	8	9,1	17,5	20	-2,5	6,25
1	7	8,7	14	15	-1	1
7	7	8,7	14	15	-1	1
13	7	8,3	14	13	1	1
6	6	7,8	10,5	13	-1,5	2,25
10	6	7,5	10,5	11	-0,5	0,25
20	6	6,6	10,5	9	1,5	2,25
24	6	7,1	10,5	10	0,5	0,25
4	5	6,2	7,5	6	1,5	2,25
9	5	6,2	7,5	6	1,5	2,25
2	4	6,3	5	8	-3	9
5	4	5,9	5	4	1	1
16	4	6,2	5	6	-1	1
3	3	3,7	2	2	0	0
8	3	3,6	2	1	1	1
17	3	3,9	2	3	-1	1

 

Ранговый коэффициент Спирмена очень важен для оценки тесноты  связи между X и Y. Коэффициент корреляции рангов Спирмена определяется по формуле:

; 

Коэффициент корреляции рангов Спирмена принимает любые значения в интервале  от

Вывод: в нашем случае результат 0,972 и указывает, что связь сильная.

 

Задача № 2.

 

Изменение численности  работающих в АОЗТ «Иртыш» характеризуется  следующими данными:

таблица № 2.1.

годы	Численность работающих на начало соответствующего года, чел.
1983	746
1984	737
1985	726
1986	717
1987	738
1988	751
1989	746
1990	725
1991	693
1992	681
1993	678
1994	682
1995	597
1996	595
1997	583

 

Проанализируйте динамику численности работающих в  АОЗТ. С этой целью:

 

1. Определите вид динамического ряда.

 

Ряд, расположенных в хронологической  последовательности значений статистических показателей, представляет собой временной (динамический) ряд

Мы имеем случай моментного динамического  ряда.

 

 

2. Определите аналитические показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста и прироста (цепные и базисные), абсолютное содержание 1% прироста. Результаты расчетов оформите в таблице. Покажите взаимосвязь цепных и базисных показателей.

 

таблица № 2.2

 

 

 

 

 

Покажем взаимосвязь цепных и базисных показателей.

Сумма абсолютных приростов с переменной базой должна дать общий прирост за исследуемый период:

Отсюда видно, что действительно  это так (смотреть таблицу № 2.2.)

Базисный коэффициент роста  находится перемножением цепных коэффициентов роста.

 

 

 

3. Определите динамические средние за период: средний уровень ряда, среднегодовой темп роста и прироста.

 

Средний уровень моментного динамического ряда рассчитаем по средней хронологической формуле:

 

Средний абсолютный прирост рассчитывается, как средняя арифметическое из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени. 

Рассчитаем средний коэффициент роста, как среднегеометрический из произведения показателей цепных коэффициентов роста.

Произведение цепных коэффициентов  роста = 0,781

Поэтому средний коэффициент роста

 

Средний темп роста представляет собой коэффициент роста, выраженный в процентах.

;  

 

Следовательно, среднегодовой темп прироста:

;   

 

 

 

 

4. Для определения общей тенденции изменения численности работающих произведите аналитическое выравнивание и выразите общую тенденций соответствующим математическим уравнением

 

№	год	численность работающих на начало соответствую-щего года, чел.	скользящая сумма трёх членов	скользящая средняя	условное время			выраженные уровни ряда
1	1983	746	-	-	-	-	-	-	-	-
2	1984	737	2209	736	-6	-4416	36	763	-27	729
3	1985	726	2180	727	-5	-3635	25	752	-25	625
4	1986	717	2181	727	-4	-2908	16	741	-14	196
5	1987	738	2206	735	-3	-2205	9	739	5	25
6	1988	751	2235	745	-2	-1490	4	719	26	676
7	1989	746	2222	741	-1	-741	1	708	33	1089
8	1990	725	2164	721	0	0	0	697	24	576
9	1991	693	2099	700	1	700	1	686	14	196
10	1992	681	2052	684	2	1368	4	675	9	81
11	1993	678	2041	680	3	2040	9	664	16	256
12	1994	682	1957	652	4	2608	16	653	1	1
13	1995	597	1874	625	5	3125	25	642	-17	289
14	1996	595	1775	592	6	3552	36	631	-39	1521
15	1997	583	-	-	-	-	-	-	-	-
				9065	0	-2002	182	9061		6260
				697		154		697		482

 

Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике так  же выравнивание временного ряда, а  методы выявления основной тенденции  – методами выравнивания.

Один из наиболее простых приёмов  обнаружения общей тенденции  развития явления – укрупнение интервала динамического ряда. Первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатель которого относятся к большим по продолжительности периодам времени.

В нашем случае основную тенденцию  мы определим методом скользящей средней (см.по таб.)

Для того чтобы представить количественную модель выражающую общую тенденцию  изменений уровней динамического  ряда во времени, используется аналитическое  выравнивание ряда динамики.

Исходя из рис. видно, что для  аналитического выравнивания нам подходит линейная тендовая модель:

где, - порядковый номер периодов или моментов времени;

параметры и - рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК)

Для уравнения расчёта, за начало отчёта примем уровень, находящийся в середине ряда. Даты времени, стоящие ранее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1;  -2;  -3; и т.д.), а позже – натуральными числами со знаком плюс (+1;  +2;  +3 и т.д.). В нашем случае за нулём принимаем 1990 год. При этом условии будет равно нулю, и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

Тогда получим:

;

; 

; 

;

 

 

 

 

5. Определите выровненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с фактическими данными.

 

; ; ;

; ; ;

; ; ;

 

 

6. Предполагая, что выявленная тенденция сохранится в будущем, определите ожидаемую численность работающих на ближайшие 5 лет. Сделайте выводы.

 

Продление в будущее тенденции, наблюдающиеся в прошлом, носит название экстраполяция. Тенденция развития явления характеризуется тем или иным аналитическим уравнением. На основании этого уравнения ряда динамики можно расчетать экстраполяции количества работающих через 5 лет (т.е. в 2002 году) = 576 чел...

 

1998	1999	2000	2001	2002
+7	+8	+9	+10	+11

 

При составлении прогноза определяем доверительный интервал прогноза по формуле: ; где - среднее квадратическое отклонение от тренда;

- табличное значение критерия  Стьюдента при уровне значимости  ;

 и  - соответственно фактические и расчётные значения уровней динамического ряда;

- число уровней ряда;

- количество параметров в  уравнении тренда (для уравнения  прямой, m=2).

 

Используя данные рассчитаем среднюю квадратическую ошибку линейного уравнения тренда:

Величина относительной ошибки составит:

;

С вероятностью 0,997; t=3;

;  ;  .

Вывод. Через пять лет количество рабочих будет находиться в интервале:

576 чел. – 20 = 556 чел.

576 чел. + 20 = 596 чел.

 

 

 

 

 

 

Задача № 3.

 

Рентабельность  продукции и затраты на ее производство по заводу бытовых электроприборов характеризуется следующими данными:

 

изделия	рентабельность продукции (%)		затраты на весь выпуск изделия, тыс. руб
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
лампы настольные	10,5	13,0	60,0	65,0
электроутюги	5,0	6,0	34,0	35,0

 

На основании  имеющихся данных определите:

 

1. Изменение уровня рентабельности продукции и затрат на весь выпуск продукции по каждому изделию (в %).  Укажите вид используемых индексов.