Задачи по "Статистике"

Содержание

 

 

Задача № 1

Спрогнозировать значения индексов на ближайшие две недели, используя метод скользящих средних, а также экспоненциальную среднюю.

Применяя метод «скользящих средних», берутся данные за три недели, а при методе экспоненциальной средней берут число α равное 0,1, а затем 0,2. 

 

Решение

Сформировать временной  ряд для 10 недель. Используя таблицу  случайных чисел, получили следующие десять чисел: 42, 99, 2, 33, 122, 25, 1, 69, 135, 78. В связи с этим формируем таблицу экономических индексов (таблица 1).

Таблица 1

Исходные данные

№	42	99	2	33	122	25	1	69	135	78
Неделя	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Экономический индекс	13,22	12,69	13,07	13,33	13,30	13,94	13,01	12,75	13,30	12,97

 

Сначала проведем прогнозирование методом "скользящего" среднего.

Для определения скользящей средней формируем укрупненные  интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать уровни y₁, y₂, …,  y_m; второй – уровни y₂, y₃, …,  y_m+1 и т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. По сформированным укрупненным интервалам определяем сумму значений уровней, на основе которых рассчитываем скользящие средние. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала¹. Поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда (по условию 3).

Возьмем в качестве укрупненного интервала период в 3 недели, тогда  первая скользящая сумма будет равна  сумме за первую, вторую и третью недели, вторая скользящая сумма – за вторую, третью и четвертую рабочие недели и т.д.

(13,22 + 12,69 + 13,07) / 3 = 12,99.

(12,69 + 13,07 + 13,33) / 3 = 13,03.

(13,07 + 13,33 + 13,30) / 3 = 13,23.

(13,33 + 13,30 + 13,94) / 3 = 13,52.

(13,30 + 13,94 + 13,01) / 3 = 13,42.

(13,94 + 13,01 + 12,75) / 3 = 13,23.

(13,01 + 12,75 + 13,30) / 3 = 13,02.

(12,75 + 13,30 + 12,97) / 3 = 13,01.

Результаты расчета  скользящих средних приведены в  таблице 2.

Таблица 2

Расчет скользящих средних

Неделя	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Экономический индекс	13,22	12,69	13,07	13,33	13,30	13,94	13,01	12,75	13,30	12,97
Скользящие средние	-	12,99	13,03	13,23	13,52	13,42	13,23	13,02	13,01	-

 

На рисунке 1 представлены экономические показатели, сглаженный их уровень, рассчитанный с помощью скользящего среднего, а также линия тренда для сглаженного уровня. На рисунке также представлено уравнение – модель динамики изменения экономических индексов²:

С помощью этого уравнения  проведем прогнозирование экономического индекса на следующую неделю:

Следовательно, прогноз, рассчитанный методом скользящего  среднего, составит 13,15 на обе последующие недели.

Рисунок 1 – Динамика изменения экономических индексов

 

Далее проведем прогноз методом "экспоненциального сглаживания".

Прогнозная оценка здесь находится по формуле³:

где ω – коэффициент сглаживания (0 < ω < 1).

Если нужен прогноз  на несколько периодов вперед, то вторая и последующие оценки проводятся по формуле⁴:

Возьмем коэффициент сглаживания ω, равный 0,1.

Тогда экономический  индекс, рассчитанный методом «экспоненциального» сглаживания на первую прогнозируемую неделю составит:

Возьмем коэффициент  сглаживания ω, равный 0,2.

Тогда экономический  индекс, рассчитанный методом «экспоненциального» сглаживания на первую прогнозируемую неделю составит:

Прогноз на вторую неделю (коэффициент сглаживания 0,1) составит:

Прогноз на вторую неделю (коэффициент сглаживания 0,2) составит:

Таким образом, прогнозные значения, рассчитанные различными методами, и в случае «экспоненциального сглаживания» с различными коэффициентами сглаживания, различаются: методом «скользящего среднего» – получили индекс, равный 13,15; методом «экспоненциального сглаживания» при коэффициенте сглаживания 0,1 получили 12,9978, а при коэффициенте сглаживания 0,2 получили 13,0174. Наименьший индекс получили методом «экспоненциального сглаживания» (коэффициент 0,1), а наибольший экономический индекс получили методом «скользящего среднего». Стоит отметить, что в данном случае прогнозные значения на первую и на вторую недели одинаковы.

 

Задача № 2

Компания занимается перевозкой грузов. Имеются данные за ряд лет по объемам перевозки 4-х видов грузов (А, В, С, Д) и стоимости перевозки единицы груза.

Используя данные по объемам  перевозок и стоимости перевозки  единицы продукции, определить:

1. Простые индексы цен, количества и стоимости для каждого вида продукции А, В, С и Д, а также индексы Ласпейреса, Пааше и Фишера, и индекс стоимости за два года.
2. Цепные и базисные индексы за 5 лет. Решить задачу для грузов А и Д.

 

Решение.

Данные для задачи (вариант 4): для 1-го года – 4, для 2-го года – 8.

Исходные данные для  данных лет представлены в таблице 3.

Таблица 3

Исходные данные для  первой задачи

Продукт	Количество		Цена
	4 (q0)	8 (qi)	4 (p0)	8 (pi)
А	246	358	12,60	15,16
В	420	320	20,25	28,60
С	674	735	14,10	16,60
Д	220	212	27,10	31,50

 

Для второй задачи при  определении цепных и базисных индексов выбрать данные по количеству перевозимого груза за 5 лет, но только не за 4-ый и 8-ый годы, а за 4-8 годы. Эту задачу решить для груза А и груза Д.

Исходные данные для  второй задачи представлены в таблице 4.

Таблица 4

Исходные данные

Продукт	Количество (q)					Цена (p)
	4	5	6	7	8	4	5	6	7	8
А	246	260	285	317	358	12,60	13,10	13,80	14,58	15,16
Д	220	225	221	217	212	27,10	28,50	29,90	30,60	31,50

 

Определим простые индивидуальные индексы цен по формуле:

Для продукта А:

Для продукта В:

Для продукта С:

Для продукта Д:

Формула Ласпейреса показывает, на сколько фиксированная товарная корзина становится дороже в текущем  периоде⁵. Индекс Ласпейреса равен:

Таким образом, индекс Ласпейреса равен 1,2508.

Ценовые индексы по формуле  Пааше показывают, на сколько фиксированная товарная корзина текущего периода дороже или дешевле, чем в базовом периоде. Индекс Пааше равен:

Таким образом, индекс Пааше равен  1,2346.

Индекс стоимости характеризует изменение стоимости товаров в текущем периоде, по сравнению с предшествующим периодом.

Таким образом, индекс стоимости  равен 1,2360.

Рассчитываем индекс количества:

Таким образом, индекс количества равен 1,0011.

Индекс Фишера. Это средний геометрический индекс из индексов цен Пааше и Ласпейреса⁶.

Вывод. Индекс Ласпейреса предполагает взвешивание цен двух периодов по объемам потребления товаров в базисном, а индекс Пааше предполагает взвешивание цен двух периодов по объемам их потребления в текущем периоде. Сначала проанализируем расчет простых индексов. Они говорят, о том, что цены на продукт А увеличились на 20,32 %, цены на продукт В увеличились на 41,23 %, цены на продукт С увеличились на 17,73 %, цены на продукт Д увеличились на 16,24 %. Наибольшее изменение цен произошло на продукт В.

Индекс Ласпейреса показывает, что цены увеличились на 25,08 %.

Индекс Пааше показывает, что цены увеличились на 23,46 %.

Индекс стоимости характеризует изменение стоимости товаров в текущем периоде, по сравнению с предшествующим периодом, т.е. увеличение на 23,6 %.

Далее определим цепные и базисные индексы.

Базисный индекс –  индекс, рассчитанный по отношению  к базисному периоду. Цепной индекс – индекс, рассчитанный по отношению к предыдущему периоду⁷.

Расчеты цепных и базисных индексов количества перевозимого груза  и цен на него представлены в таблице 5. Эти индексы рассчитаны аналогично расчету простых индексов цен, которые были рассчитаны ранее.

Таблица 5

Цепные и базисные индексы

Ряд лет	А		Д		Цепные индексы количества груза		Базисные индексы  количества груза		Цепные индексы цен		Базисные индексы цен
	Количество (q)	Цена (p)	Количество (q)	Цена (p)
					А	Д	А	Д	А	Д	А	Д
4	246	12,60	220	27,10	-	-	-	-	-	-	-	-
5	260	13,10	225	28,50	1,057	1,023	1,057	1,023	1,040	1,052	1,040	1,052
6	285	13,80	221	29,90	1,096	0,982	1,159	1,005	1,053	1,049	1,095	1,103
7	317	14,58	217	30,60	1,112	0,982	1,289	0,986	1,057	1,023	1,157	1,129
8	358	15,16	212	31,50	1,129	0,977	1,455	0,964	1,040	1,029	1,203	1,162