Активизация познавательной активности

развивает быстроту  реакции,  умение  слушать  и  слышать  вопрос,  четко  и

конкретно мыслить. Интересно, что в  этом  случае  работают  даже  те  дети,

которые обычно молчат, поскольку  интеллектуально  пассивны  или  стесняются

публичных ответов. Разминка занимает 5–7 минут.

     В чем смысл данного  вида  работы?  Он  проводится  или  на  этапе  проверки

домашнего задания  или  первичного  усвоения,  когда вопросы очень просты

(репродуктивные) и требуют  однозначный, быстрый ответ, проверяющий  знания  и

внимание детей, умение слушать и слышать вопрос.

Если устную разминку проводить в начале урока перед  объяснением новой  темы,

то она должна включать не только вопросы на проверку домашнего  задания,  но

и актуализацию  опорных  понятий,  пройденных  раньше  (неделю,  месяц,  год

назад), которые необходимо восстановить в памяти ребенка.

     Детям предлагается как можно быстрее, хором отвечать на вопросы  (их  обычно

15–20) и самостоятельно  оценивать себя: в случае правильного  ответа  ставить

себе в тетради заметку. В  конце  разминки  учитель  объясняет,  за  сколько

ответов можно поставить себе «+».

   Буквенный диктант

     Его можно  использовать  перед объяснением новой темы.  Не  учитель

называет тему, а ученики. Смысл диктанта в следующем: учащиеся отвечают  про

себя на вопрос, а записывают лишь первую букву ответа. Затем  из  выделенных

слов учащиеся составляют слово.

      При  использовании приема «Буквенный диктант» вопросы формулируются  из

соответствующей темы по математике, из любых  предметов  школьного  курса  и

даже из кроссвордов.

Прием ценен для развивающего обучения, но еще мало разработан как  в  теории,

так и в практике.

 

Числовой диктант

    При использовании этого приема дети вспоминают два понятия,  пытаются

сохранить их в памяти, а затем  по  заданию  учителя  совершают  между  ними

какое-либо действие и  ответ записывают в  тетрадь.  Чем  он  интересен?  Во-

первых, устный счет сам по себе полезен на уроках математики. Во-вторых,  мы

не просто даем возможность  считать, а подсчитывать вещи (понятия,  величины,

единицы...), знание которых  входит в базовый минимум школьной  программы  не

только по данному  предмету, т. е. мы пытаемся расширить кругозор  детей.  В-

третьих, давая аналогичное  задание для самостоятельного конструирования,  мы

ненавязчиво  заставляем  школьников  еще  раз  прочитать   текст   учебника,

поскольку без этого  они не смогут выполнить предлагаемую работу, а  она для

них очень интересна.

Например 

   Цифровой диктант

    Этот прием, пришедший к нам  из  программированного  обучения,  где  основой

является идея о постоянной обратной  связи,  очень  эффективно  используется

для быстрой фронтальной  проверки  усвоения  и  закрепления  знаний.  Учитель

произносит некоторое  утверждение и,  если  ученик  согласен,  то  он  ставит

единицу (1), если нет –  нуль (0). В результате получается  число.  Все,  кто

получил правильное число, получают «плюс» за работу  (балл  за  данный  этап

урока).

      Подобные  диктанты с большим удовольствием  составляют сами  учащиеся  и

подбирают вопросы из многих учебных  предметов.  Аналогичные  задания  можно

дать на дом или  на уроке.

 

   Задания со сменой установки

     Этот прием работы на уроке позволяет не только  проверить  знания  детей  по

теме, но и развивать  зрительную память, быстроту реакции,  внимание.  Почему

прием носит такое  название? В этом случае мы чуть-чуть  «обманываем»  детей,

говоря, что будет выполняться  тест,  проверяющий  и  развивающий  зрительную

память. Детям  надоедают  одни  и  те  же  слова:  «Решим  задачу,  выполним

упражнение» и  т.  д.  Мы  меняем  формулировку  задания,  зная,  что  кроме

развития  памяти  одновременно  проверяем  качество  усвоения   программного

материала.

Суть приема в следующем: на доске заранее пишется задание (несколько  чисел,

фигуры), учащимся предлагается их запомнить в том же порядке. Затем  задание

убираем, а дети должны постараться ответить  на  вопросы  учителя  (отвечают

хором) или письменно в тетрадях.

     Приемы повышения интереса учащихся  к  обучению,  о  которых  было  сказано,показали их высокую эффективность не только для  качественного  формирования знаний,  но  и  для  развития  познавательных  способностей  школьников,  их общенаучных умений  и  навыков  для  повышения  мотивации  их  деятельности, создания ситуации успеха и творческой активности.

Примеры разминок приведены в приложении 4

 

 

 

    2.5. Страницы истории на уроках математики.

 

    Математика и история - две неразрывные области знания. Сведения из истории математики, исторические задачи сближают эти два школьных предмета. История обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление учеников. Математика, развивающая логическое и системное мышление, в свою очередь занимает достойное место в истории, помогая лучше ее понять. Как, решая проблему формирования интереса учеников к учению, использовать возможности двух школьных предметов? Сведения из истории математики, задачи исторического характера, софизмы - лишь немногие "точки соприкосновения" этих, казалось бы, далеких, но достаточно близких наук. Как добиться того, чтобы ученики с интересом занимались математикой, как научить их решать задачи, как убедить в том, что математика нужна не только в повседневной жизни, но и для изучения других предметов?

    Многие школьные учебники математики( к сожалению бывшие) решаюли эти проблемы. Для развития интереса к предмету в них были занимательные задачи, система упражнений, которая формировала необходимые умения и навыки, прикладные вопросы, показывающие связь математики с другими областями знаний. Конечно, и в новых в учебниках мы встречаем и исторические страницы. Читая их, узнаем о появлении и развитии математических понятий, возникновении и совершенствовании методов решения задач. И тем не менее творчески работающему учителю тесно в рамках того исторического содержания, которое приводится в учебнике. Сведения из истории науки расширяют кругозор учеников, показывают диалектику предмета. Поэтому так важно, чтобы исторические мотивы искусно вплетались в ткань урока математики, заставляя детей удивляться, думать и восхищаться богатейшей историей этой многогранной науки. Формы подачи исторического материала могут быть различными начиная от простых (беседа учителя, короткие сообщения учеников на заданную тему, решение исторических задач, разгадывание софизмов, выпуск стенгазет) до более глубоких и сложных - таких, как историко-математическая конференция, защита рефератов по вопросам истории математики. В учебниках математики 5-6-х классов (авторы Г.П. Бевз, В.Г.Бевз.), к сожалению , очень мало сведений по истории предмета,и расположены они в конце учебника. Это снижает значимость исторического материала, изменяет отношение к нему учеников. Хорошо, если учитель хотя бы иногда дает задание прочитать последние страницы учебника. Но часто, выполняя программу, реализуя математическое содержание, мы забываем об историческом. И все-таки опытный учитель никогда не начнет изложения новой темы, не говоря о новом разделе математики, без вводной исторической части, вызывающей интерес и внимание учеников. Как, знакомя учеников с начальными понятиями геометрии, не рассказать о греческой математике? В Древней Греции геометрию причисляли к семи свободным искусствам наряду с грамматикой, риторикой, диалектикой, арифметикой, астрономией и музыкой. Такие ученые, как Пифагор и Платон, считали, что окружающая природа устроена по определенному плану, поэтому красоту окружающего мира, по их мнению, можно было познать с помощью математики. Именно древнегреческий ученый Евклид, систематизируя геометрические знания, написал величайший труд "Начала", который почти на два тысячелетия стал учебником геометрии. Евклиду принадлежат также сочинения по механике, оптике, музыке. Известны его заслуги и в астрономии. Евклиду приписываются также несколько теорем и новых доказательств. Потом еще не раз на уроках геометрии мы будем возвращаться к Евклиду. Изучая аксиомы геометрии, сравниваем понятия, данные в современном учебнике и в "Началах". Доказывая теорему Пифагора, говорим, что ею заканчивается первая книга "Начал". При построении правильных многоугольников опять звучит это имя. XIII книга "Начал" посвящена платоновым телам - правильным многогранникам, красотой которых восхищаемся на уроках стереометрии. Рассматривая вопросы дифференциального и интегрального исчислений на уроках анализа, говорим о том, что идеи, положенные в их основу Ньютоном и Лейбницем в XVII в., уходят своими корнями к методу исчерпывания, открытому еще Евклидом и Архимедом. Так история математики помогает понять не только логику развития предмета, но и показывает яркие примеры ученых, прошедших трудный путь открытия истины. Известно, что уже при постройке первой египетской пирамиды Джосера в Саккаре (около 2800 лет до н.э.) древние зодчие были знакомы с правилами построения так называемых несоизмеримых отрезков, т.е. таких, длины которых нельзя выразить рациональной дробью. Вместе с учениками можно выполнить геометрические построения и еще раз, повторяя теорему Пифагора, вычислить длины диагоналей прямоугольников, изображенных на рисунке. Так, вводя на уроке алгебры понятие иррационального числа, можно геометрически и исторически помочь школьникам понять и почувствовать его суть. Эффективным и занимательным приемом является также математический софизм. Софизм - это доказательство заведомо ложного утверждения. Причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Группу древнегреческих философов, живущих в V-IV вв. до н.э., называли софистами. Они достигли большого искусства в логике. Ученикам VII-VIII классов уже можно привести софизм об Ахиллесе и черепахе. Ахиллес, бегущий в десять раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на сто метров впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти сто метров, черепаха будет впереди него на десять метров. Пробежит Ахиллес и эти десять метров, а черепаха окажется впереди на один метр и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Сколько восторгов, мнений, споров, а главное - неподдельного интереса и жажды знаний вызывает у учеников этот исторический софизм. Тут же разбираем и чисто геометрическое ложное утверждение, пытаясь найти искусно скрытую ошибку. Докажем, что все (!) треугольники равнобедренные. Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки O опустим перпендикуляр ОД на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Легко доказывается, что ОА = ОС и ОД = ОЕ. Следовательно, прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны по гипотенузе и катету. Отсюда поиски ошибки привели к долгожданному результату. Ошибка оказалась в чертеже, ведь серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противолежащего ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника. Решая геометрические задачи на построение в VII, VIII классах, конечно, знакомимся с тремя классическими задачами древности: о квадратуре круга, трисекции угла и об удвоении куба. Способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано много. Так, например, еще в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9, = 256/81= 3,1604... С удовольствием и эмоциональным подъемом слушают ученики легенду, связанную с "делосской задачей" об удвоении куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имеющий форму куба. Ученики узнают о том, что древние задачи оказались неразрешимыми с помощью циркуля и линейки, но благодаря многолетним поискам их решения совершенствовались математические методы. Исторически развивалась и сама математика. Открытие логарифмов - еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой. На уроке во II классе, посвященном логарифмам, обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита". 1. Высота тона (частота колебаний f ) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l/f = a/l (а - коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны). 2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем - [Корень из двух в двенадцатой степени]. является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы. Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении "Псамлигт" Архимеда (287 - 212гг. до н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, [а в квадрате],... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: [a в степени m] * [a в степени n] = [a в степени m+n] . Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер (1550-1617 гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики". Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцати звуковой строй). Еще один пример того, как можно учить, не отпугивая от математики, - интеграция исторических знаний и математических задач, связанных с этими знаниями. Ученикам гораздо интереснее решать именно такие задачи.

 

                    

    2.6. Решение одной задачи несколькими способами.

 «Лучше решить одну  задачу несколькими способами,  чем несколько задач- одним». При  поиске новых решений уже решенной  задачи вместе с учащимися не только устанавливаются новые методы решений, такими непохожими разделами математики. К примеру, одной задачи. «Ему предшевствуют фрагмент урока, на котором ученикам предлагается задача, имеющая несколько способов решения. Обычно в классе находим один-два способа решения совместными усилиями. Поиск остальных вариантов решения данной задачи предлагается на дом. На первых этапах организации уроков такого вида указываю при разборе нового способа решения. Не всегда найденные способы решения оказываются простыми и красивыми, но для учебной и воспитательной целей работа такого рода важна: ребята с увлечением и заинтересованностью находятся в постоянном поиске, перебирая в памяти известные приемы, теоретический багаж знаний, сплачиваясь в небольшие группы по организации поиска и т.д. С другой стороны, проводимая работа такого вида немало способствует творческому развитию самого учителя. Приведу несколько задач, в ходе решения которых школьники показали ряд способов размышления.

 Задача №1 (10 класс). Преобразовать в произведение выражение

1+ cosα + sinα

1 способ. 1+ cosα + sinα= 2 cos = 2 ( + )= 2 * = 2

 

2 способ. 1+ cosα + sinα = 1+ cosα + tg α*cos α = 1+ cos α (1+tgα) = 1+ cosα = 2

 

3 способ. 1+ cosα + sinα = 1+ =2 = = 2cos = 2cos

 

4 способ.

 

1+ cosα + sinα=

 

5 способ.

1+ cosα + sinα= =

 

6 способ.

1+ cosα + sinα=

.

7-й способ.

1+ cosα + sinα=1+ cosα + sinα+cosα – cosα=(1- cosα) + 2cosα +sinα=

Надо сказать, что учащимися  были предложены еще ряд способов рассуждения, но обычно они на втором-третьем  шагах приводились к одному из вышеописанных приемов. Однако всеученики, которые сумели найти свои способы решения, были отмечены, выслушаны и одобрены. Особый похвалы удостоились ребята, нашедшие несколькооригинальных способов упрощения предложенного задания.

      К этысканию  различных способов решения задач надо привлекать школьников как можно раньше. Широкое поле деятельности в этом плане на уроках геометрии. Есть немало задач как в самих учебниках, так и в других источниках: «Дидактический материал по геометрии» (разноуровневый), журналы «Математика в школе», «Квант», «Сборник задач по геометрии 7-11 класса» и другие. Причем, с каждым изученным новым материалом, есть возможность вернуться к уже решенной задаче и попытаться решить ее другим способами. Например.

Задача 2

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

 

Решение

            1-й способ.     BN-бисектриса внешнего угла , тогда но , следовательно = - они соответственные при прямых AC и BN и секущей AB, отсюда AC||BN ч.т.д.

 

 

 

 

 

       2-й способ.   BD – биссектриса ABC, тогда DBC + CBN = ABC + СBM = ( ABC + CBM) = 180 = 90

Но BD (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника), отсюда BN||AC как два перпендикуляра к одной и той же прямой BD ч.т.д.

 

 

3 способ. (после изучения признаков  параллелограмма)

Пусть О BC и BO = OC. Найдем точку F такую, что F AO и AO=OF. Тогда ABFC – параллелограмм, следовательно BF||AC. Докажите, что BF- биссектриса DBC. BF||AC => CBF = ABC, DBC = BAC как соответственные при параллельных прямых AC||BF и сек. AB. Следовательно, CBF = DBF (т.к. A= С), откуда BF – биссектриса DBC ч.т.д.

 

 

4-й способ.

На продолжении стороны AB отложим BD=AB, тогда AC DC (свойство биссектрисы вравнобедренном BCD) Отсюда вновь BN||AC как два перпендикуляра к одной и той же прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

5 способ. (основан на теореме:  «Если дуги, заключенные между  непересекающимися хордами, равны,  то хорды параллельны).

 

• ACB= AE                 AE= CN, отсюда

BAC= CN          =>         EN||AC, т.е.

ACB= BAC                  BN||CA ч.т.д.

Решение задач различными способами представляет большие  возможности для совершенствования  обучения математике. При решении  задач только одним способом у школьников единственная цель- найти правильный ответ. Если же требуется применить при этом несколько способов рассужджений, они стараются отыскать наиболее рациональное, оригинальное, красивое, экономичное решение. Все это приводит к развитию интереса к предмету, активизирует учебную деятельность ребят.

Задача №3

Решить иррациональное уравнение.

1-й способ.

 Обозначим  = y, fnfkz= y+1, после чего уравнение примет вид: Одз: y 3y-2 = 2 ,

, , y = 0 или y . Оба эти числа удовлетворяют ОДЗ

Переходя к обозначениям через  х, получим

1. при у = 0, = 0, x( )= 0, x
2. при

Проверка:

1. x = -5, 75-75-2 неверное равенство, значит x = 5 - посторонний корень;
2. , 0 + 0 – 2*1 = -2 ó -2 = 2 – неверное равенство, значит, x = 0- посторонний корень;
3.   верное равенство, значит, -корень уравнения.
4. верное равенство, - корень.