Численное дифференцирование

.

Доказательство. Рассмотрим случайные величины   и  . Тогда согласно утверждению 10  ,  .

Из свойств математического  ожидания следует, что  , а из свойств дисперсии — что  . Таким образом,

,

.

Из условия теоремы  Чебышёва следует, что

.

Применим к   второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку

,

что и требовалось доказать.

Эта теорема была получена П. Л. Чебышёвым в той же работе 1867 года «О средних величинах», что  и неравенства Чебышёва.

Пример 2. Пусть  ,  . При каких   правая часть неравенства (11) не превосходит  ?  ?  ?

В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равна  . Она не превосходит  , если  , не превосходит  , если  , не превосходит  , если  .

Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании   и фиксированных   и   убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на  , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причём при любом  . Это утверждение называют законом больши́х чисел.

Наиболее важен для  вероятностно-статистических методов  принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда  все  ,   имеют одно и то же математическое ожидание   и одну и ту же дисперсию  . В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое

.

Из закона больши́х чисел следует, что   при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к  , что записывают так:

.

Здесь знак   означает «сходимость по вероятности». Это понятие отличается от «перехода к пределу» в математическом анализе. Последовательность   имеет предел   при  , если для любого сколь угодно малого   существует число   такое, что при любом   справедливо утверждение:  . При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится ещё одно сколь угодно малое число   и утверждение  предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 2.1

Учет фактора  времени при оценке экономической           эффективности хозяйственный мероприятий

 

Как  показывают  события  последних  лет  (1991-93гг)   в

России,  инфляционные  процессы,  будучи  выпущенными  из  под

кредитно-финансового  контроля,  да  к  тому   же   усиленными

монополизированной структурой  народного  хозяйства,  ведут  к

некоторым  специфическим   негативным   эффектам   в   области

сбережения, кредитования и  инвестирования. Особенно  угнетающе

инфляция     подействовала     на     сферу     долговременных

производственных инвестиций, начиная с 1985г не вводятся и  не

строятся мощности  по  химической  переработке  древесины,  не

обновляются технологии в  деревообработке  (  при  том  ,  что

продолжается  расширение  мощностей  по   производству   сырых

пиломатериалов  без  утилизации  отходов   )   ,   деградирует

отечественное    машиностроение    для    лесоперерабатывающих

отраслей.  Наблюдается   отчетливая   тенденция   сворачивания

долгосрочных  инвестиций  и   примитивизации   технологических

процессов (рост удельного  веса  кустарных  трудо- и энергоемких

производств).

     В этих условиях  начинает сказываться своеобразный  вакуум

апробированных методов  определения экономической эффективности

хозяйственных  мероприятий  с   комплексным   учетом   фактора

времени:   как    дисконтирования    разновременных    затрат,

результатов и эффектов, так и инфляционного обесценивания  этих

показателей,в текущем денежном выражении.

     Не претендуя  на абсолютную точность, я считаю  необходимым

привлечь  внимание   к   разработанным   предложениям,   чтобы

стимулировать создание новых  эффективных методов экономической

оценки хозяйственных  мероприятий.

     1. Первым шагом  в данном направлении  является  уточнение

норматива дисконтирования  разновременных затрат, результатов  и

эффектов  (Е),  который  применяется при   определении   этих

показателей за  некоторый  период  (иногда  называемый  сроком

службы мероприятия НТП).

 

               ЭТ =  РТ -  ЗТ ;

 

        где:        tк

               РТ =  Рt(1+Е)tР-t  ;

                   t=tн

                    tк

               ЗТ =  Зt(1+E)tР-t  ;

                   t=tн

 

               Т  = tк - tн  ;

 

          tР -- наиболее ранний по вариантам сравнения год,

                предшествующий   началу  выпуска продукции

                (  получения   результатов  )   по  данному

                хозяйственному мероприятию;

 

      Зt, Рt -- затраты и результаты в году  (t)  в текущем

                денежном выражении;

 

      tн, tк -- начальный и конечный годы периода, за который

                определяется эффект от проведения  хозяйствен-

                ного мероприятия;

 

  ЭТ, ЗТ, РТ -- эффект,  затраты  и  результаты от проведения

                данного мероприятия за период  Т.

 

     В   известных   методиках    определения    экономической

эффективности капитальных  вложений и мероприятий НТП, норматив

экономической    эффективности    получал    толкование    вне

функционирования   кредитно-денежной   системы,   как    некая

статистическая    технико-экономическая    величина.    Отсюда

возникали  заметные  расхождения  между   процентной   ставкой

Госбанка (ныне - Центробанка) и нормативом (Е).

     В частности  в период введения  последних   версий  Методик

эффективности  (1988г)  ставка  банков,  входящих  в   систему

Госбанка, была от 2 до 6 % , а Е=0,1 (т.е. 10% годовых).

     Применение  такого  норматива  в  целях   дисконтирования

разновременных затрат, результатов  и эффектов, строго  говоря,

было невозможно, так как  норматив  дисконтирования  по  своему

экономическому содержанию является показателем  относительного

эффекта по замыкающему мероприятию (т.е.  требующего  минимума

затрат).

     С  переходом   на  двухуровневую  банковскую   систему   и

установлением  учетной  ставки  рефинансирования  коммерческих

банков (до недавнего времени  равной 80% , а  с  1.04.93  =100%

годовых), норматив дисконтирования получил свою базу, так как

основная  масса  кредитов  для   производственных   инвестиций

выдается теперь  коммерческими  банками.  Получение  бюджетных

средств под  низкие  проценты  или  безвозмездно  для  лесных

отраслей и лесного  машиностроения практически исключается.

     Таким образом в настоящее время, исходя из ученой  ставки

Центробанка, можно было принять Е=0,8 при расчете по  годовым

циклам, а при переходе к  внутригодовым  периодам  величина  Е

должна составить соответствующую  долю от 0,8 .

     Если в рамках  рассматриваемого периода прогнозируется  или

фактически происходит пересмотр  учетной ставки, то  начиная  с

момента пересмотра,  в  расчетах  необходимо  применять  новое

значение Е.

     Если банк,  через  который  решено  финансировать   данное

мероприятие (или в котором  данное  предприятие  имеет  ссудный

или   расчетный   счета,   через   которые   будут   проходить

инвестируемые средства),  устанавливает  ставку  по  депозитам

более  высокую,  чем учетная ставка  Центробанка,  то  будет

правомерно  применять  в  расчетах  не   учетную   ставку,   а

депозитный банковский процент.

 

     2.  Вторым  шагом  в  совершенствовании   и   актуализации

методов расчета экономической  эффективности является  введение

поправочного коэффициента, обеспечивающего  учет  инфляции,  в

определение норматива экономической  эффективности  (норматива

дисконтирования).

     Динамика  инфляции  может   быть   оценена   соотношением

индексов инфляции по смежным  временным периодам:

 

                     It/It-1;

 

         где  It   - индекс инфляции за период t (год) ;

              It-1 - то же за период (t-1) .

 

     Это соотношение  устанавливает экономическую равноценность

затрат,  результатов  и  эффектов   двух   смежных   периодов,

оцененных в текущем денежном выражении. Если  инфляция  росла,

то в меру этого роста  должен,  в принципе,  увеличиваться и

норматив эффективности. Если, например, инфляция снижалась, то

норматив эффективности  должен соответственно уменьшиться.

     Этот  процесс   похож  на  процесс  коррекции   банковских

ставок,  когда  с  ростом  инфляции  банк  поднимает   ставку,

ограничивая этим кредитную  эмиссию и повышая привлекательность

сбережений. Различие только в том, что банк  основывается  при

этом на движении индекса  инфляции, но не буквально следует  за

этим движением.

     С  учетом  указанной  коррекции  норматив   экономической

эффективности (норматив дисконтирования) будет выглядеть как:

 

                    Е * It/It-1.

 

     Тогда  в   целом,  формулы  для   определения   затрат   и

результатов за рассматриваемый  период примут вид:

 

                 tк                  

            ЗT =  Зt(1+Е*It/It-1)tP-t  ;

                t=tн

 

                 tк

            РT =  Pt(1+E*It/It-1)tP-t  .

                t=tн

 

     3. Руководствуясь  предложенными методами, были  проведены

модельные  расчеты   экономической   эффективности   различных

хозяйственных мероприятий.

     Была  задана  определенная  динамика  инфляции   в   виде

индексов цен (цена за  1кг  сахара)  по  отношению  к  некоему

исходному уровню (если последний  принять за  единицу).  Этой

динамике инфляции соответствуют  индексы инфляции, нормативы  и

коэффициенты дисконтирования, приведенные в таблице 1.

     Показатель  степени в коэффициенте дисконтирования  взят  с

учетом полугодовых интервалов, на которые разбит весь период.

 

     В  таблицах  2  и   3   рассмотрены   два   хозяйственных

мероприятия -- два вида накоплений: накопления  хозяйственного

субъекта  -  клиента  банка  и  накопления  самого   банка   в

результате краткосрочного кредитования.

     Данные    о     движении     сбережений     соответствуют

дисконтированию   затрат   и   результатов   при   определении

экономического эффекта.

     Положительная   степень   при   расчете   кругооборотного

нарастания вложенных  сумм соответствует отрицательной  степени

при определении  коэффициента  дисконтирования.  Экономическая

сущность  дисконтирования  проявляется  именно  в  том,  чтобы

вычесть из более поздних  результатов  эффект  так  называемого