Уравнение парной линейной регрессии ,

Уравнение парной линейной регрессии

,

Оценка качества уравнения парной линейной регрессии

Регрессионная модель представляет сумму уравнения регрессии и  остатков. Проверяется качество обоих  слагаемых.

Оценка качества уравнения  линейной регрессии состоит из следующих этапов.

1. Оценка математической точности уравнения. Для этого рассчитывается средняя относительная ошибка аппроксимации

,

где - фактические значения переменной y , - теоретические значения y , найденные по уравнению регрессии. Для принятия решения о точности уравнения можно воспользоваться таблицей

Значение  , %	Точность уравнения
менее 10	высокая
10 - 20	хорошая
20 - 50	удовлетворительная
более 50	неудовлетворительная

В случае, когда уравнение имеет  неудовлетворительную точность, необходимо увеличить объем наблюдений (объем выборки) n, либо взять другое уравнение регрессии (нелинейное).

 

2. Проверка статистической значимости уравнения регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера.

Выдвигается гипотеза Н₀: уравнение регрессии статистически незначимо, при конкурирующей гипотезе Н₁: уравнение регрессии статистически значимо. Находится расчетное значение (статистика) критерия

 

или ,

где , , - соответственно фактическое (наблюдаемое), теоретическое и среднее значение ; n - объем выборки, m - число параметров уравнения регрессии при независимых переменных (в случае парной линейной регрессии m = 1), R² - коэффициент детерминации ( R² = (r)² ) .

Табличное (критическое) значение F_табл , находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора (F-распределения) по уровню значимости α и двум числам степеней свободы df₁ = m и df₂ = n - m - 1 .

Если F_расч > F_табл , то гипотеза Н₀ отвергается с вероятность ошибки α , т.е. уравнение регрессии признается в целом статистически значимым (адекватно описывающим исходные данные).

В противном случае (F_расч < F_табл) уравнение считается незначимым.

 

3. Проверка статистической значимости оценок параметров b₀, b₁ с помощью t-критерия Стъюдента.

Критерий Стьдента проверяется

только для  линейного уравнения!

Выдвигается гипотеза Н₀: параметр b_j = 0 (j = 0, 1) (статистически незначим, случайно отличается от 0), при конкурирующей гипотезе Н₁: параметр b_j ≠ 0 (статистически значим, неслучайно отличается от 0). Находится расчетное значение критерия

,

где средние квадратические ошибки параметров:

,

.

Теоретическое значение критерия t_табл находится по таблице критических значений распределения Стъюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы df = n - m - 1 .

Если t_bj > t_табл , то гипотеза Н₀ отвергается с вероятность ошибки α , т.е. оценка коэффициента регрессии b_j признается статистически значимой, т.е. не является результатом действия внешних случайных факторов.

В противном случае (t_bj < t_табл) - b_j статистически незначим.

 

4. Построение интервальных оценок (доверительных интервалов) параметров регрессии в виде

 

которые с надежностью (вероятностью) γ = 1 - α покрывают истинные параметры β_j. Здесь t_табл - значение, найденное по таблице критических точек распределения Стъюдента по уровню значимости α/2 и числу степеней свободы df = n - m - 1.

Если границы некоторого доверительного интервала имеют разные знаки, соответствующий параметр уравнения регрессии статистически незначим.