Теория вероятности

1. Колода из 36 карт  наугад разделена пополам. Найти вероятность того, что в одной половине окажутся только черные карты, а в другой - только красные.

 

Ответ:

В колоде 36 карт: 18 чёрных и 18 красных.

 

2. На 30 одинаковых жетонах написаны числа от 11 до 40. Какова вероятность вытянуть наугад жетон с номером, кратным 3 или 2?

 

Ответ:

Числа кратные 3: 12,15,18,21,24,27,30,33,36,39

P1=10/30=1/3

Числа кратные 2: 12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40

P2=15/30=1/2

P=p1+p2=1/3+1/2=5/6

 

3. В цехе работает 8 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад отбираются 7 человек. Какова вероятность, что среди отобранных будет только 2 женщины? Хотя бы одна женщина?

 

Ответ:

Всего 11 человек.

Общее число случаев: n=(С из 11 по 7)=330

Если две женщины, то

Благоприятное число  случаев – 2 женщины и 5 мужчин –  
m = (С из 2 по 3)•(С из 8 по 5) = (3)•(56)=168.

Тогда искомая вероятность  будет равна Р=m/n=168/330=0,509.

Если хотя бы одна женщина, то

m = (С из 2 по 3)•(С из 8 по 5)+ (С из 1 по 3)•(С из 8 по 6)+ (С из 3 по 3)•(С из 8 по 4)=168+84+70=322

Р=322/330=0.9757

 

4. Имеется три урны. В первой  урне а белых и в черных шаров, во второй урне с белых и d шаров, в третьей урне только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

 

Ответ:

По формуле полной вероятности

Р=(1/3)*(а/(а+в))+(1/3)*(с/(с+d))+1/3

 

5. Прибор может собираться из деталей высокого качества и деталей обычного качества. Из высококачественных деталей собирается 40 % приборов. Для высококачественного прибора его надежность за промежуток времени t равна 0.95, для обычных приборов надежность составляет 0.7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.

 

Ответ:

 - прибор собран из высококачественных  деталей, 

 - прибор собран из деталей  обычного качества.

Вероятность этих гипотез до опыта:

.

В результате опыта наблюдено событие   – прибор безотказно работал время .

Условные вероятности  этого события при гипотезах   и  равны:

Находим вероятность гипотезы  после опыта:

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Охотник стреляет по дичи до попадания, но может сделать не более трех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х - числа выстрелов сделанных стрелком. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

 

Ответ:

вероятность того, что  число промахов равно 0, равна 0,6  
вероятность того, что число промахов равно 1, равна 0,4 ·0,6 =0,24 (в первом не попал, во втором попал) 
вероятность того, что число промахов равно 2, равна 0,4·0,4·0,6=0,096 (в двух первых не попал, в третьем попал) 
вероятность того, что число промахов равно 3, равна 0,4 ·0,4 ·0,4 =0,064 (в трёх первых не попал) 
Математическое ожидание равно 0·0,6+1·0,24+2·0,096+3·0,064 = 0,624

M(x*x)=0.24 +0.384+0.576=1.2

D(x)=1.2-0.389376=0.810624

Sko=0.9

 

Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (α,β.). Построить графики функций F(X) и f(X).

 

Используем свойство . Получаем:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Вероятность того, что  Х примет значение из интервала (-0.5 , 0.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

график функции F(X)

 

 

 

график функции f(X)