Парадоксы в математике

Данный парадокс также может относиться к так называемому классу оптических иллюзий, так как уже изначально в задаче заложена ошибка в переставлении фигур. Для того чтобы разобраться с таким парадоксом, нужно сосчитать площадь (S) каждой фигуры, с помощью рисунка 1:

1. Площадь красной фигуры. Так как она состоит из двух прямоугольников, то, чтобы узнать S всей фигуры, нужно сложить площади этих двух прямоугольников:

 

2. Площадь зеленного треугольника:

 

3.  Площадь желтого треугольника:

 

4.  Площадь синей фигуры, состоящей из квадрата и прямоугольника:

 

Таким образом, с помощью рисунка 1 мы вычислили площадь каждой фигуры. Теперь можно найти площадь всего треугольника, сложив площади его составных фигур:

 

 

Но для того, чтобы узнать площадь всей фигуры, существует более простой способ.

 

Вычисляя вторым способом, становиться ясно, что треугольники до и после перестановки не равны. Следовательно, начальная фигура, которую мы назвали треугольником, на самом деле является вогнутым четырехугольником. На рисунке 3 данное различие белее заметно.

Синими линиями показано положение желтого треугольника, красными линиями – зеленного.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Связанные с путешествиями во времени

4.1. Парадокс убитого дедушки

В 1949 году в свет выходит книга знаменитого писателя-фантаста Рене Баржавеля «Le Voyageur Imprudent» (Неосторожный путешественник),  которой он описывает один из парадоксов, связанных с путешествиями о времени.

Суть парадокса заключатся в путешествиях во времени. Допустим, что человек смог построить машину времени и отправился в свое прошлое. Там он убивает своего биологического дедушку, еще до его будущей встречей с бабушкой героя.

Таким образом, дедушка не встречает свою жену, следовательно, родители, а также и герой, никогда не рождаются. А так как путешественник во времени не родился, он не построил машину времени, не отправился в собственное прошлое и не убил дедушку.

Выходит, что линия жизни не прерывается, дедушка встречает бабушку, рождаются родители и сам герой. Тогда он снова изобретает машину времени и все продолжается до бесконечности. 

В этом и заключатся весь парадокс, каждая возможность исключает возможность своего выполнения, все действия противоречат друг другу. Но, тем не менее, существует некоторое решение данного парадокса. Если путешественник живет в настоящем для него, то ему просто не нужно будет убивать своего дедушку.

5. Псевдопарадокс

Псевдопарадоксы – категория парадоксов, основанных на пословицах, народной мудрости, поверьях.  Данная категория немногочисленна по своему составу, широко известны псевдопарадокс парикмахера, псевдопарадокс каталога и псевдопарадокс кошки с маслом. Последний псевдопарадокс рассмотрим подробнее.

1. Псевдопарадокс кошки с маслом

Псевдопарадокс кошки с маслом – это ироничный, шуточный псевдопарадокс, основывающийся на двух народных пословицах:

1. Бутерброд всегда падает маслом вниз
2. Кошки всегда приземляются на четыре лапы

Парадокс заключается в одной ситуации: к спине кошки привязан бутерброд так, что масло остается на верху (рисунок 1).

 

Предположим, что оба утверждения верны, и бутерброд будет всегда падать маслом вниз, и кошка будет всегда приземляться на 4 лапы.

Противоречие возникает, если рассматривать падающую кошку. Что произойдет? Существует два возможных варианта развития событий:

1. Кошка приземлится на четыре лапы, но при этом бутерброд  не упадет маслом вниз (рисунок 2)
2. Бутерброд упадет маслом вниз, но тогда и кошка приземлится на спину, а не на четыре лапы, как сказано в утверждении (рисунок 3) 

В любом из вариантов развития действия нарушается одно из утверждений. В этом и заключается главная проблема данного парадокса.

Тем не менее, существует суждение, что результатом падения кошки с бутербродом станет возникновение антигравитации. Согласно данному предположению, кошка достигнет стабильного состояния на небольшом расстоянии от земли и будет вращаться с некоторой скоростью (рисунок 4). Кошка будет пытаться приземлиться и на лапы, и на масло бутерброда.

 

 

 

 

 

 

Существует еще один вариант решения данного парадокса. Если кошка падает на четыре лапы, то есть касается ими земли, то бутерброд, привязанный к спине кошки, фактически не будет считаться упавшим, так как он не коснулся земли. То же самое происходит и во второй ситуации, когда бутерброд падает маслом вниз, при этом кошка не считается упавшей.

В. Ножнов предложил третий вариант решения данного парадокса. Оно заключается в том, что кошка составляет единую систему с бутербродом и поэтому уже не может называться «бутербродом» в утверждении первого правила или «кошкой» в утверждении второго. То есть правила «бутерброда» или «кошки» определены только для отдельных элементов типа «кошка» или «бутерброд».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вывод

В своей работе я рассмотрела некоторые виды парадоксов и их примеры. Таким образом, изучив научную литературу и проведя собственные исследования, я выяснила, что существует огромное множество противоречий в данной области математики, некоторые из них до сих пор остаются без единого решения.

Моё исследование показало, что данный раздел очень разнообразен, в нем присутствуют и нереальные темы (например, парадоксы, связанные с путешествиями во времени), и темы, требующие нестандартного мышления, развитого логического пути мышления (например, логические и вероятностные парадоксы).

Благодаря этой работе, я обнаружила, что даже в таких развитых областях математики, как геометрия и статистика, могут присутствовать противоречащие друг другу свойства. В итоге, я поняла, что парадоксы – это не только малоизученное и мало использующееся направление математики, но и довольно интересная, а главное, развивающая способность правильного мышления область.

 

 

 

 

 

 

 

7. Литература

1. Толковый словарь Даля, «Цитадель»1998 г
2. Толковый словарь Ожегова, 1999 г
3. Большой энциклопедический словарь, 2000 г
4. Сатанинская бутылка, Р.Л.Стивенсон, 2012г.
5. С.Н. Мареев, Парадоксы и псевдопарадоксы, (Противоречия теории множеств и проблема определения числа).
6. Усманова А.Р., Умберто Эко, Парадоксы интерпретации, Мн., Пропилеи, 2000. - 200 с.
7. Анисов А. М. Логика. Парадоксы. Наука. Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С. 156—188.
8. Чупахин И. Я. Теория понятия и парадоксы. Вестник Ленинградского университета. Серия Экономика, философия, право. 1975. № 5. Вып. 1. С. 55-63.
9. Черепанов С. К. Основания и парадоксы: новый подход к решению проблемы логического обоснования математики. Красноярск, 1995.
10. Костюк В. Н. Парадоксы: логико-семантический анализ. Системные исследования. Ежегодник-1979. М., 1979. С. 344—357. Драгалина-
11. Черная Е. Г. Путь к очевидности: парадокс и докса. Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С. 234—242.
12. http://www.voprosnik.ru
13. http://korrespondent.net
14. http://ru.wikipedia.org
15. http://novostinauki.ru
16. http://dpanorama.ru
17. http://class-fizika.spb.ru