Ряды в математике

14. Знакопеременные  ряды. Абсолютная и условная сходимость. Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.  Абсолютная и условная сходимость.  Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

15. Знакочередующиеся  ряды. Признак Лейбница. Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+     +(-1)n-1.un+…, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом. Теорема Признак Лейбница. Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия: Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…, то ряд сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда. Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2n-1-u2n). По условию u1>u2>…>u2n-1>u2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n>0 при любом n. С другой стороны S2n=u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому S2n<u1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный  S2n=S. При этом 0<S≤u1. Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞:S2n+1=S2n+u2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому Sn=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

16. Функциональные  ряды. Понятие оо равномерной сходимости функционального ряда. Определение Бесконечная сумма функций  u1(x) + u2(x) +…+ un(x) +… , (4.1), где un(x) = f (x,n), называется функциональным рядом. Если задать конкретное числовое значение х, ряд (4.1) превратится в числовой ряд, причем в зависимости от выбора значения х такой ряд может сходиться или расходиться. Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х, при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом.Определение. Множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд (4.1) получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости  функционального ряда. Равномерная сходимость функционального ряда.  Говорят, что последовательность функций   сходится равномерно к функции на множестве D, если для любого можно определить такой номер N, зависящий только от , что для любого и для всех  выполняется неравенство . Ряд   сходится равномерно на множестве D к сумме , если последовательность его частичных сумм  сходится равномерно на множестве D к функции .Приведем достаточный признак равномерной сходимости, который удобен в практическом применении.

17. Степенные ряды  и их свойства. Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов. Определение  Степенным рядом называется функциональный ряд вида .Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел. При степенной ряд (1.1) принимает вид Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности , ряд (1.2) – рядом по степеням х. Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Определение. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится. Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2). Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.Теорема 1.1 (Теорема Абеля): если степенной ряд (1.2) сходится при то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству . Свойства степенных рядов. Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале ,и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е. , для всех .Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е. для всех .

18. Ряд Тейлора.  Разложение функции в ряд Тейлора.  Ряд Маклорена. Определение Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд. В случае, если этот ряд также называется рядом Макло́рена. Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды: 1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением , 2)k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой 3)  Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0) при a=0 члены ряда определяются по формуле Условия применения рядов Тейлора. 1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора. Свойства рядов Тейлора. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например: .

19. Применение рядов  к приближенным вычислениям. Если неизвестное число М разложить в ряд где ai — некоторые числа и Mn=a1+a2+a3+... — частичная сумма этого ряда, то погрешность при замене М на Мп выражается остатком При достаточно большом п погрешность может стать как угодно малой, так что Мп выразит М с любой заданной точностью. В случае знакочередующегося ряда погрешность оценивается очень быстро с помощью теоремы Лейбница. Если члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, то сумма остатка Мп меньше его первого члена ап+1 по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку. В случае знакоположительного ряда необходимо найти новый ряд с большими членами , который легко суммируется. В качестве оценки погрешности при отбрасывании остатка rn берут величину остатка введённого ряда

20. Ряды Фурье. Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом. При этом числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.  Тригонометрический ряд также записывают в виде Коэффициенты, определяемые по формулам , , , называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции . Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из этих интервалов функция монотонна, то есть либо невозрастающая, либо неубывающая. Теорема. Если периодическая функция с периодом является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева.

21. Предмет и  задачи теории вероятностей. Элементы  комбинаторики. Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события. вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений.  Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально-возможное количество различных вариантов развития событий. Основная формула комбинаторики Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из ni элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n1*n2*n3*...*nk. Определение 1. Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов. Определение 2. Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов. Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

22. Пространство  элементарных событий. Алгебра  событий. Определение . Множество элементарных событий таких, что в результате эксперимента происходит одно и только одно из них и все элементарные события взаимно исключают друг друга, называется пространством элементарных событий . Пространство элементарных событий дискретно, если число его элементов конечно или счётно. Таким образом, если число элементов пространства элементарных событий конечно, то , если же число элементов пространства счетно, то .Определение Любое подмножество пространства элементарных событий называется событием. События обозначаются большими латинскими буквами A, B, C, … Определение. Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно может произойти, а может и не произойти. Определение. Событие называется достоверным, если в результате эксперимента оно обязательно произойдет. Обозначается I (или u). Определение. Событие называется невозможным, если при выполнении данного комплекса условий оно не происходит. Обозначается O (или v). Определение. События называются равновозможными, если нет оснований предполагать, что одно из них более возможно, чем другое. Определение. События называются единственновозможными, если при выполнении данного комплекса условий происходит одно и только одно из них. Определение . Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появления другого. Определение. События называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны. Определение . Событие называется противоположным (дополнительным) событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Обозначается . Определение. События называются полной группой событий, если в результате эксперимента происходит хотя бы одно из них.

23. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Определение(классическое определение вероятности). Вероятностью события А называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к числу n всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, т.е. , ,где - вероятность события А.Замечание. Классическое определение вероятности применяется, когда число всех равновозможных исходов испытания, образующих полную группу, конечно. Такой случай носит название классической схемы. Определение(статистическое определение вероятности). Вероятностью события А называется объективно существующая величина , около которой группируются относительные частоты этого события при повторении длинных серий испытаний. Согласно определению 2 имеет место приближенное равенство , .Определение (определение геометрической вероятности). Вероятностью события А называется отношение меры m_g области g к мере m_G области G, соответствующей событию А, т.е. . Замечание . Области g, G могут быть любого числа измерений. Для одного измерения мерой является длина отрезка, для двух измерений – площадь, для трех измерений – объем.

24. Основные теоремы  теории вероятности: Вероятность  суммы несовместных и совместных  событий, вероятность произведения  зависимых и независимых событий.  Теорема (сложения вероятностей для двух несовместных событий). Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. . Теория Для любых двух событий A и B справедливо совместных: . Теорема(умножения вероятностей для двух независимых событий). Если события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий, т.е. . Теория Для любых двух событий A и B  зависимых справедливо:

25. Формула полной  вероятности. Вероятность гипотез. Теорема. Если событие А в результате эксперимента может произойти только одновременно с одним из попарно несовместных событий , образующих полную группу событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А, т.е. .- называется формулой полной вероятности.Замечание . Для того чтобы определить, правильно ли сформулированы гипотезы , , рекомендуется проверять равенство , которое справедливо для попарно несовместных событий, образующих полную группу. Это равенство, вообще говоря, не выполняется для условных вероятностей , .

26.Схема испытаний  Бернулли. Формула Бернулли. Теорема  Пуассона. Определение. Несколько испытаний называются независимыми относительно события А, если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Определение . Эксперимент, состоящий из нескольких независимых испытаний, проводимых в одинаковых условиях, называется схемой Бернулли. Замечание. В схеме Бернулли событие А, происходящее в испытаниях, имеет одинаковую вероятность в каждом из испытаний. Теорема . Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р и не появляется с вероятностью q = 1 – p. Вероятность P_{m, n} того, что событие А произошло ровно m раз в этих n испытаниях, можно вычислить по формуле Бернулли .Замечание. События, которым соответствуют вероятности P_{0, n,} P_{1, n}, …, P_{n, n,} являются попарно несовместными и образуют полную группу событий. В силу этого для них выполняется равенство , которое может оказаться полезным при решении задач со схемой Бернулли. Теорема. Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р и не появляется с вероятностью q = 1 – p. Если вероятность при , но так, что величина при , где - некоторое постоянное, то вероятность P_{m, n} того, что событие А произошло ровно m раз в этих n испытаниях, можно вычислить по формуле Пуассона .Замечание. Формулой Пуассона удобно пользоваться тогда, когда вероятность p близка к нулю, а число испытаний n очень велико.