Лекции по высшей математике

Свойства. Ранг матрицы не меняется:

1. при транспонировании матрицы,
2. при перестановке её строк и столбцов,
3. при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля,
4. при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов),
5. при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей,
6. при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

Методы вычисления ранга  матрицы.

Метод упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки занулить все элементы первого столбца кроме одного – верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все элементы второго столбца кроме двух верхних и т.д., пока матрица не приведётся к ступенчатому виду.

Метод окаймления. Ищется минор порядка , заведомо отличный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т.е. содержащие ) миноры порядка. Если среди них найдётся хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какого-то, отличного от нуля минора -го порядка, все окаймляющие миноры ни окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен нулю.

Примеры.

1. Найти ранг и указать какой-нибудь  базисный минор матрицы

Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.

Теперь из второй и третьей строк  вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

.

Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:

.

В этой матрице имеются миноры второго  порядка, отличные от нуля, например, минор . Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

 

2. Найти ранг матрицы:

.

Решение.

 => => =>

 

 получаем из  , вычитая из второй строки первую, а из третьей строки первую, умноженную на -2; из третьей строки вычитаем вторую – получаем ; подобным образом получаем нули и над главной диагональю. Ясно, что .

 

9. Свойства определителей.

Определение. Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы определитель не меняется.
2. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.
3. При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.
4. Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то

.

5. Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.
6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
7. Определитель равен нулю, если

• все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю,

• две строки (столбца) одинаковы,
• две строки (столбца) определителя пропорциональны.

 

Методы вычисления определителей.

1. Разложение по строке или столбцу.
2. Метод обращения в нуль всех (кроме одного) элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).
3. Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали.
4. Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель - го порядка равен сумме произведений всех его миноров - го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

 

Примеры.

1. Вычислить данный определитель  четвёртого порядка с помощью  разложения по строке или столбцу:

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать по второй строке:

Таким образом, окончательно получим   .

 

10. Система линейных  алгебраических уравнений. Основная и расширенная матрица. Совместная, несовместная и однородная системы уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений, содержащая уравнений и неизвестных имеет следующий вид:

 (1)

Обозначим матрицу-столбец из неизвестных  через X и матрицу-столбец из свободных членов через B.

 – столбец неизвестных, – столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно записать в  виде: ,  (2)

где – основная матрица системы.

Уравнение (2) называется матричным уравнением. Перепишем уравнение (2) следующим образом .

Тогда получим решение матричного уравнения в виде:  (3)

Матрицу    называют расширенной матрицей системы.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется прямоугольной, если , и квадратной, если .

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если , т.е., если столбец свободных членов состоит из одних нулей.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется неоднородной, если .

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если любое решение одной из них является решением и другой системы. Заметим, что все несовместные системы являются эквивалентными.

 

 

 

 

Элементарные преобразования системы линейных уравнений:

1. перестановка любых двух уравнений;
2. умножение обеих частей одного уравнения на любое число отличное от нуля;
3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят  данную систему в эквивалентную.