Лекции по "Высшей математике"

 
Кафедра “Высшая математика”

Н. Д. ВЫСК

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть 1

Москва 2001 г.

Лекция 1.

Определение матрицы. Определители второго и  третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие  об определителе n-го порядка.

Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А — матрица,  - элемент матрицы,  номер строки, в которой стоит данный элемент,  номер соответствующего столбца; m — число строк матрицы, n — число ее столбцов.

Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице  можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом  с использованием всех элементов  матрицы. Это число называется определителем.

Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной  диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1. 2.

Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так: 

образуя два треугольника, симметричных относительно главной  диагонали. Элементы, произведения которых  входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Примеры.

1.

2.

Определение1. 6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a`_ij = a_ji .

Основные свойства определителей.

Сформулируем и докажем  основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

=

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться  только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут  обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е. 

.

Доказательство. 

  

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Доказательство этого  свойства следует из свойства 2 при k = 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Доказательство.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Доказательство следует  из свойств 2 и 4.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на —1.

Доказательство.

Свойство 7.

Доказательство этого  свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью  определения 1.5.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство следует  из свойств 7 и 5.

Разложение определителя по строке.

Определение1. 7. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент  определителя, его минор.

Пример. Для  

Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка — так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого  докажем следующую теорему:

Теорема 1.1. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. 

где i=1,2,3.

Доказательство.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для  любой другой строки или столбца  можно провести аналогичные рассуждения  и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Тогда

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить  сумму их произведений на соответствующие  элементы определителя.

Пример. Вычислим определитель  с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что  при этом искать не требуется, так как следовательно, и  Найдем  и  Следовательно,

=

Определители  более высоких порядков.

Определение1. 9. Определитель n-го порядка

есть сумма n! членов  каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств  полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для  определителей n-го порядка.

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с  помощью разложения по строке или  столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей  и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка  с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем  и : 

Следовательно,

Лекция 2. Системы линейных уравнений. Метод  Гаусса. Правило Крамера.

Определение 2.1. Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Определение 2.2. Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е.  где числа, переменные.

Определение 2.3. Линейным уравнением называется уравнение вида

(2.1) 

где  и b — числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой  части линейного уравнения стоит  линейная комбинация неизвестных, а  в правой — число.

Определение 2.4. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Определение 2.5. Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

(2.2)

где , - числа, - неизвестные, n — число неизвестных, m — число уравнений.

Определение 2.6. Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел 

которые при подстановке  вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Метод Гаусса решения  линейных систем.

Замечание. Линейная система (2.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или  не иметь ни одного решения.

Примеры:

1. . Единственным решением  является пара чисел х = 1, у  = 2.

2. . Решением этой системы  будут любые два числа х  и у, удовлетворяющие условию  у = 3 — х. Например, х=1, у=2; х=0, у=3 и т. д.

3.. Очевидно, что эта система  не имеет решений, так как  разность двух чисел не может  принимать двух различных значений.

Условия существования и  количества решений линейной системы  будут изучены в дальнейшем, а  пока рассмотрим способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных: (2.3)

Пусть  (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на  и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на  где i — номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при  во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

Если новые коэффициенты при х₂ не все равны нулю, можно таким же образом исключить  из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

. (2.4)

Здесь символами  и  обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения  системы (2.4) единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой — остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение  превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных  обратились в 0, а правая часть приняла  ненулевое значение), то исходная система  не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при  любых значениях неизвестных.

Примеры:

1. Решим методом Гаусса  систему  

Вычтем из второго уравнения  удвоенное первое, а из третьего — первое, умноженное на 5.

Получим:  . Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а затем разделим второе уравнение на —7 (коэффициент при у), а третье — на 15 (новый коэффициент при z). Система примет вид:

. Отсюда z=3, y=2, x=1 — единственное  решение системы.

2. Система  после исключения х из второго и третьего уравнений примет вид: . Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее уравнение станет тождеством 0=0. В системе осталось два уравнения: . Ее решение можно записать в виде: х = -2, у — любое число, z = 7 — y. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.

3. . Применив к этой  системе метод Гаусса, получим ,

откуда . Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:  

.

Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения  элементов j-го столбца

Сложив затем все уравнения, получим:

. (2.5)

Отметим, что .

(j-й столбец) 

(Результат получен из  разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при  и равен  при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6) . Разделив все уравнения на , найдем единственное решение:  .

Предположим теперь, что =0. Тогда  система (2.6) примет вид:  .

В этом случае, если все =0, система  выглядит так:  и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из  система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

1)      Если  система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

2)      Если ==0, система имеет бесконечно много решений.

3)      Если =0, а хотя бы один из  система не имеет решений.

Примеры:

1. Рассмотрим систему , решенную в предыдущем разделе методом Гаусса, и применим к ней правило Крамера. Найдем все нужные определители:

 

 следовательно, система имеет единственное решение.

Отсюда 

2.  . Здесь  поскольку имеет два одинаковых столбца.

Следовательно, система не имеет единственного решения. Найдем  и

поэтому система имеет  бесконечно много решений.

3. . Для этой системы   но

следовательно, решений нет.

Лекция 3.

Операции  над матрицами, их свойства. Обратная матрица, ее вычисление.

Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричных уравнений  и линейных систем с помощью обратной матрицы.

Определение 3.1. Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определение 3.2. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Определение 3.3. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.

Линейные операции над матрицами.

1.      Сложение матриц.

Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С) .
3. Если О — нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще  раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

Пример.

2.      Умножение матрицы на число.

Определение 3.5. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения матрицы  на число:

1. (km)A=k(mA).
2. k(A + B) = kA + kB.
3. (k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.