Лекции по высшей математике

Темы вопросов

 

 

1. Вектор. Основные понятия.  Линейные операции.

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются  величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если А – начало вектора и В – его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней, например, . Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце. Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Длина вектора  называется его модулем и обозначается символом | |. Модуль вектора обозначается | |.

Вектор  , для которого | | = 1, называется единичным. Обозначается .

Единичный вектор, направление  которого совпадает с направлением вектора  , называется ортом вектора .

Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления, а начало и конец его совпадают. Обозначается .

Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Они могут быть одинаково или противоположно направлены.

Два векторы  и называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут: = . Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить, помещая его начало в любую точку пространства. Такой вектор называется свободным.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой, или два любые коллинеарны, то эти вектора также компланарны.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору  , обозначается – . Для вектора противоположным будет вектор .

 

Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть и – два свободных вектора (рис. а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор = , затем от точки А отложим вектор = . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается + (рис. б).

 

A

         

   O  +  B

   B

O  +    C 

 

а)        б)     в)

 

Определение. Разностью двух векторов и называется третий вектор = – , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если = – , то + = (рис. г).

 

 A

 

 

    –  =

 

 

O   B

 

   г)

 

Определение. Произведением (или ) вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную | || |, и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направлению вектора , если < 0.

 

 

Свойства:

1. Если || , то = . Теорема коллинеарности.
2. + = + . Переместительный закон.

 

2. Проекция вектора  на ось. Разложение вектора  по ортам координатных осей. Действия над векторами, заданными проекциями.

Определение 1. Углом между векторами и называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приведения этих векторов к общему началу.

Осью называется направленная прямая. Направление прямой на рисунке обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси считается положительным, противоположное – отрицательным.

Рассмотрим ось l, положительное направление которой совпадает с направлением единичного вектора , расположенного на оси l. Такой вектор называется ортом оси l.

Определение 2. Углом между вектором и осью l называется угол между векторами и .

 

 

O     l

 

Определение 3. Проекцией точки А на ось l называется точка , в которой пересекается ось l с плоскостью, перпендикулярной к l, проходящей через точку А.

 

 

 l

 

 

Определение 4. Компонентой (составляющей) вектора на ось l называется вектор , где , соответственно проекции точек A, B на l.

Определение 5. Проекцией вектора на ось l ( ) называется длина его компоненты на ось l, взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси l.

Если  = 0, то полагают = 0.

Теорема 1. Проекция вектора на ось l равна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l: = .

Свойства:

1.

2.

 

3. Скалярное произведение  векторов и его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается символом или ( , ). Если угол между векторами и равен , то

= .

Через обозначим проекцию вектора на ось с направлением вектора . Так как и , можно записать

= ,

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением первого.

Раскроем физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа A указанной силы определяется равенством

,

т.е. равна скалярному произведению векторов и .

 

Свойства:

1.   (переместительное свойство);

2.   ( называется скалярным квадратом вектора);

3.  (распределительное свойство);

4.   (сочетательное свойство относительно числового множителя).

 

Примечание:

2. Два вектора и перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда

= 0.

 

Скалярное произведение векторов в координатной форме:

Пусть даны два вектора: и , тогда

=

(1)

 

Условие ортогональности можно  представить в виде = 0.

 

 

 

 

Направляющие косинусы вектора.

Пусть дан вектор . Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ox, Oy и Oz соответственно буквами и . Три числа принято называть направляющими косинусами вектора . Полагая , получаем из (1)

(2)

Аналогично

(3)

. (4)

Из формул (2) – (4) следует:

1) ,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна 1.

 

2) ,

т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.

 

4. Векторное произведение  и его свойства.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, и который перпендикулярен к перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен к плоскости построенного на них параллелограмма) и направлен в такую строну, чтобы кратчайший поворот от к вокруг полученного вектора представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (см .рис.).

 

 

 

 

Если векторы  и коллинеарны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Из этого определения следует, что  ,

где – угол между векторами и ( ). Векторное произведение векторов и обозначается символом или или .

Выясним физический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке M силу, а вектор идет из некоторой точки O в точку M, то вектор представляет собой момент силы относительно точки O.

 

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

.

Это свойство следует из определения  векторного произведения.

Таким образом, векторное произведение не обладает переместительным свойством.

2. ,

где – скаляр.

Свойство 2 непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е.

.

4. Если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то либо равен нулевому вектору хотя бы один из перемножаемых векторов (тривиальный случай), либо равен нулю синус угла между ними, т.е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора  коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору. Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору.

 

5. Смешанное произведение  и его свойства.

Пусть даны три вектора  , и . Представим себе, что вектор умножается векторно на и полученный вектор умножается скалярно на вектор , тем самым определяется число . Оно называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех , и . Для краткости смешанное произведение будем обозначать или ( ).

Выясним геометрический смысл смешанного произведения . Пусть рассматриваемые векторы , и некомпланарны. Построим параллелепипед на векторах , и как на ребрах. Векторное произведение есть вектор , численно равный площади параллелограмма OADB (основание построенного параллелепипеда), построенного на векторах и , и направленный перпендикулярно к плоскости параллелограмма (см. рис.).

 

 E

 

 C₁

C

 

 

 

 

 O B

 

 

A  D

 

Скалярное произведение есть произведение модуля вектора и проекции вектора на .

Высота построенного параллелепипеда  есть абсолютная величина этой проекции.

Следовательно, произведение по абсолютной величине равно произведению площади основания параллелепипеда на его высоту, т.е. объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .