Исследование структуры групп Галуа

                            τσ = σ³τ,

поскольку это соотношение выполняется  при действии на элементы α и i, порождающие K над Q. Это даёт нам строение G. Легко проверить, что структура подгрупп следующая: 

G 

   <1, σ², τ, σ² τ>             <1, σ, σ², σ³>            <1, σ², σ τ, σ³ τ> 

  <1, τ>        <1, σ² τ>                 <1, σ²>               <1, σ τ>         <1, σ³ τ> 

<1> 
 
 

      П р и м е р 4. Пусть k – поле, t₁, …, t_n алгебраически независимы над k и K = k(t₁, …, t_n). Симметрическая группа G на n символах действует на K, переставляя (t₁, …, t_n), и её неподвижное поле есть поле симметрических функций, т.е. по определению поле, состоящее из тех элементов в K, которые неподвижны относительно G. Пусть s₁, …, s_n – элементарные симметрические многочлены и

                          _n

               f(X) = ∏ (X-t_i).

                          ⁱ⁼¹

C точностью до знака коэффициентами f будут s₁, …, s_n. Положим F = K^G. Мы утверждаем, что F = k(s₁, …, s_n). Действительно,

                k(s₁, …, s_n)⊃F.

      С другой стороны, K является полем разложения многочлена f(X) и его степень над F равна n!, а степень над k(s₁, …, s_n) ≤n!; следовательно, имеет место равенство F = k(s₁, …, s_n).

Многочлен f(X) рассмотренного вида называется общим многочленом степени n. Только что мы построили расширение Галуа, группа Галуа которого есть симметрическая группа.          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Артин Э., Теория Галуа.- Москва: МЦНМО, 2004 г
2. Дрозд Ю.А., Конечномерные алгебры.
3. Ленг С., Алгебра.
4. Прасолов В.В., Многочлены.- издание второе, стереотипное, МЦНМО, 2001 г.
5. Постников М.М., Теория Галуа.- Москва, 1963 г.
6. Харченко В.К., Некоммутативная теория Галуа.- Новосибирск: Научная книга, 1996 г.